Os comprimentos de certos itens utilizados nas técnicas de fotogrametria seguem uma distribuição normal com média de e desvio padrão de 6 cm . Sabe-se que dos itens têm comprimento menor que 75 cm . Encontre o valor da média.
Nota: A interpretação dos percentis é fundamental na engenharia, pois permite a tomada de decisões com base em dados probabilísticos para garantir eficiência, otimizar processos e qualidade na engenharia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos itens cujos comprimentos seguem uma distribuição normal com média cm e desvio padrão de 6 cm. Sabemos que 20,23% dos itens têm comprimento menor que 75 cm. Nosso objetivo é encontrar o valor da média .
Aqui, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score para resolver o problema.

Passo 2

Vamos chamar o comprimento dos itens de . Então, segue uma distribuição normal:
Sabemos que:
Queremos encontrar .

Passo 3

Para resolver isso, vamos padronizar a variável usando o Z-score, que nos ajuda a relacionar a distribuição normal com a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
  • é a média ( no nosso caso)
  • é o desvio padrão (6 cm)

Passo 4

Aplicando a fórmula do Z-score para :
Sabemos que . Precisamos encontrar qual valor de corresponde a essa probabilidade.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :

Passo 7

Isolando :

Resposta

A média dos comprimentos dos itens é de 80,04 cm.

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T4 T1 T3 T5 T3
341 299 316 365 322
T1 T4 T2 T4 T1
295 355 295 351 288
T5 T2 T3 T2 T5
359 305 319 311 374
T2 T1 T4 T5 T3
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