Os comprimentos de certos itens utilizados nas técnicas de fotogrametria seguem uma distribuição normal com média de A cm e desvio padrão de 6 cm . Sabe-se que 20,23 % dos itens têm comprimento menor que 75 cm . Encontre o valor da média.
Nota: A interpretação dos percentis é fundamental na engenharia, pois permite a tomada de decisões com base em dados probabilísticos para garantir eficiência, otimizar processos e qualidade na engenharia.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos itens cujos comprimentos seguem uma distribuição normal com média cm e desvio padrão de 6 cm. Sabemos que 20,23% dos itens têm comprimento menor que 75 cm. Nosso objetivo é encontrar o valor da média .
Aqui, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score para resolver o problema.

Passo 2

Vamos chamar o comprimento dos itens de X sim N(A, 6^2) . Então, P(X < 75) = 0,2023 segue uma distribuição normal:
Sabemos que:
Queremos encontrar .

Passo 3

Para resolver isso, vamos padronizar a variável Z = X - musigma usando o Z-score, que nos ajuda a relacionar a distribuição normal com a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
  • é a média ( no nosso caso)
  • é o desvio padrão (6 cm)

Passo 4

Aplicando a fórmula do Z-score para Z = 75 - A6 :
Sabemos que . Precisamos encontrar qual valor de corresponde a essa probabilidade.

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < -0,84) approx 0,2023
Então, temos:
75 - A6 = -0,84

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar 75 - A = -0,84 times 6 :
75 - A = -5,04

Passo 7

Isolando A = 75 + 5,04 :
A = 80,04 cm

Resposta

A média dos comprimentos dos itens é de 80,04 cm.

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