Os comprimentos de certos itens utilizados nas técnicas de fotogrametria seguem uma distribuição normal com média de
e desvio padrão de 6 cm . Sabe-se que
dos itens têm comprimento menor que 75 cm . Encontre o valor da média.
Nota: A interpretação dos percentis é fundamental na engenharia, pois permite a tomada de decisões com base em dados probabilísticos para garantir eficiência, otimizar processos e qualidade na engenharia.
Nota: A interpretação dos percentis é fundamental na engenharia, pois permite a tomada de decisões com base em dados probabilísticos para garantir eficiência, otimizar processos e qualidade na engenharia.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos itens cujos comprimentos seguem uma distribuição normal com média
cm e desvio padrão de 6 cm. Sabemos que 20,23% dos itens têm comprimento menor que 75 cm. Nosso objetivo é encontrar o valor da média
.
Aqui, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score para resolver o problema.
Passo 2
Vamos chamar o comprimento dos itens de
. Então,
segue uma distribuição normal:
Sabemos que:
Queremos encontrar
.
Passo 3
Para resolver isso, vamos padronizar a variável
usando o Z-score, que nos ajuda a relacionar a distribuição normal com a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
-
é a média ( no nosso caso) -
é o desvio padrão (6 cm)
Passo 4
Aplicando a fórmula do Z-score para
:
Sabemos que
. Precisamos encontrar qual valor de
corresponde a essa probabilidade.
Passo 5
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
A média
dos comprimentos dos itens é de 80,04 cm.