Uma empresa tem uma política de aposentar os equipamentos da empresa após um certo tempo de utilização. Essa política analisa o tempo de uso, finalidade do uso, local e outras características. A distribuição do tempo de uso para o tipo de equipamento é em forma de sino e tem uma média de 51 meses e um desvio padrão de 7 meses. Usando a regra 68-95-99,7; qual é a porcentagem aproximada de carros que permanecem em serviço entre 30 e 37 meses?
Regra empírica: A regra empírica é utilizada para determinar a porcentagem de valores observados que se enquadram em um número específico de desvios padrão da média. Ela afirma que 99,7 % dos dados se enquadram em 3 desvios padrão da média, 95 % se enquadram em 2 desvios padrão da média e 68 % se enquadram em 1 desvio padrão da média.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma empresa que decide quando aposentar seus equipamentos com base no tempo de uso deles. A distribuição do tempo de uso segue um formato de sino (normal), com uma média de 51 meses e um desvio padrão de 7 meses. A gente vai usar a Regra Empírica 68-95-99,7 para descobrir qual a porcentagem de carros que ficam em serviço entre 30 e 37 meses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra Empírica. Ela nos ajuda a saber a porcentagem de dados que está dentro de certos intervalos de desvio padrão em relação à média numa distribuição normal. Especificamente:
  • 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média.
  • 95% estão dentro de 2 desvios padrão.
  • 99,7% estão dentro de 3 desvios padrão.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantos desvios padrão 30 e 37 meses estão afastados da média de 51 meses. Para isso, usamos a fórmula do z-score:
z = (x - mu)sigma
Onde:
  • é o valor que queremos comparar.
  • é a média.
  • é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z-score de 30 meses:
z = (30 - 51)7 = -217 = -3
E para 37 meses:
z = (37 - 51)7 = -147 = -2
Isso significa que 30 meses estão 3 desvios padrão abaixo da média e 37 meses estão 2 desvios padrão abaixo.

Passo 5

Usando a Regra Empírica, sabemos que:
  • 95% dos dados estão entre 2 e -2 desvios padrão.
  • 99,7% estão entre 3 e -3 desvios padrão.
Queremos saber a porcentagem entre -3 e -2 desvios padrão. A diferença entre 99,7% e 95% nos dá a porcentagem que está entre 2 e 3 desvios padrão, que é:
99,7% - 95% = 4,7%
Como a distribuição é simétrica, dividimos esse valor por 2 para obter a porcentagem apenas do lado negativo:
4,7%2 = 2,35%

Resposta

Aproximadamente 2,35% dos carros permanecem em serviço entre 30 e 37 meses.

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