Suponha que a probabilidade de um estudante universitário ter um carro no campus seja 0,30 . Uma amostra aleatória de 12 estudantes é retirada. Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 tenham um carro no campus? (a) Trabalhe o problema como um binômio. (b) Aproxime a probabilidade usando a normal padrão. © Compare os resultados do item (a) e (b) e conclua se a aproximação é razoável.
Os exercícios devem ser entregues na próxima aula, escritos à mão. Caso não sejam entregues, ficarão com 4 faltas. Se tiverem dúvidas, por favor, envie e-mail para agendarmos um horário ok?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a probabilidade de que pelo menos 4 em 12 estudantes tenham um carro no campus. A matéria envolvida aqui é a de probabilidades, mais especificamente distribuição binomial e aproximação normal. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades com a distribuição binomial e como usar a normal para aproximar esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a) usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes (n), cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso), e queremos a probabilidade de um certo número de sucessos.
Aqui, cada estudante tem a chance de ter ou não ter um carro no campus. A probabilidade de sucesso (ter um carro) é P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k e o número de tentativas é .
Queremos a probabilidade de pelo menos 4 estudantes terem um carro, ou seja, . Isso pode ser calculado somando as probabilidades de exatamente 4, 5, …, até 12 estudantes terem um carro.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde é o coeficiente binomial.

Passo 3

Vamos calcular P(X >= 4) = 1 - P(X <= 3) = 1 - ( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) ) então:
P(X=0) = binom120 (0,30)^0 (0,70)^12 = 1 times 1 times 0,70^12 approx 0,01384
Calculando cada termo:
P(X=1) = binom121 (0,30)^1 (0,70)^11 = 12 times 0,30 times 0,70^11 approx 0,05929
P(X=2) = binom122 (0,30)^2 (0,70)^10 = 66 times 0,09 times 0,70^10 approx 0,13293
P(X=3) = binom123 (0,30)^3 (0,70)^9 = 220 times 0,027 times 0,70^9 approx 0,20613
P(X <= 3) approx 0,01384 + 0,05929 + 0,13293 + 0,20613 approx 0,41219
Somando esses valores:
P(X >= 4) = 1 - 0,41219 approx 0,58781
Então:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), onde vamos aproximar essa probabilidade usando a distribuição normal. Para isso, usamos o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar distribuições binomiais por normais quando o número de tentativas é grande o suficiente.
Primeiro, calculamos a média ( mu = n times p = 12 times 0,30 = 3,6 ) e o desvio padrão ( sigma = raizn times p times (1-p) = raiz12 times 0,30 times 0,70 approx 1,38 ) da distribuição binomial:
Z = 3,5 - 3,61,38 approx -0,11,38 approx -0,0725
Como estamos aproximando uma variável discreta (binomial) por uma contínua (normal), aplicamos uma correção de continuidade. Queremos , então ajustamos para .
Padronizando:
Consultando a tabela da normal padrão, é aproximadamente 0,529. Ou seja, a probabilidade aproximada usando a normal é 52,9%.

Passo 5

Finalmente, na parte ©, vamos comparar os resultados obtidos:
  • Distribuição Binomial (a):
  • Aproximação Normal (b):
A diferença entre os dois métodos é de cerca de 6%, o que indica que a aproximação pela normal não é muito precisa nesse caso. Isso ocorre porque o número de tentativas (n=12) não é muito grande e a probabilidade de sucesso (p=0,30) não está próxima de 0,5, condições que melhoram a precisão da aproximação normal.

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 4 dos 12 estudantes tenham um carro no campus é aproximadamente 58,8% usando a distribuição binomial. A aproximação pela distribuição normal resultou em 52,9%, mostrando que a aproximação não foi muito precisa nesse caso.

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