Suponha que a probabilidade de um estudante universitário ter um carro no campus seja 0,30 . Uma amostra aleatória de 12 estudantes é retirada. Qual é a probabilidade de que pelo menos 4 tenham um carro no campus? (a) Trabalhe o problema como um binômio. (b) Aproxime a probabilidade usando a normal padrão. © Compare os resultados do item (a) e (b) e conclua se a aproximação é razoável.
Os exercícios devem ser entregues na próxima aula, escritos à mão. Caso não sejam entregues, ficarão com 4 faltas. Se tiverem dúvidas, por favor, envie e-mail para agendarmos um horário ok?
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a probabilidade de que pelo menos 4 em 12 estudantes tenham um carro no campus. A matéria envolvida aqui é a de probabilidades, mais especificamente distribuição binomial e aproximação normal. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades com a distribuição binomial e como usar a normal para aproximar esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a) usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes (n), cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso), e queremos a probabilidade de um certo número de sucessos.
Aqui, cada estudante tem a chance de ter ou não ter um carro no campus. A probabilidade de sucesso (ter um carro) é
e o número de tentativas é
.
Queremos a probabilidade de pelo menos 4 estudantes terem um carro, ou seja,
. Isso pode ser calculado somando as probabilidades de exatamente 4, 5, …, até 12 estudantes terem um carro.
A fórmula da distribuição binomial é:
onde
é o coeficiente binomial.
Passo 3
Vamos calcular
então:
Calculando cada termo:
Somando esses valores:
Então:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), onde vamos aproximar essa probabilidade usando a distribuição normal. Para isso, usamos o Teorema Central do Limite, que nos permite aproximar distribuições binomiais por normais quando o número de tentativas é grande o suficiente.
Primeiro, calculamos a média (
) e o desvio padrão (
) da distribuição binomial:
Como estamos aproximando uma variável discreta (binomial) por uma contínua (normal), aplicamos uma correção de continuidade. Queremos
, então ajustamos para
.
Padronizando:
Consultando a tabela da normal padrão,
é aproximadamente 0,529. Ou seja, a probabilidade aproximada usando a normal é 52,9%.
Passo 5
Finalmente, na parte ©, vamos comparar os resultados obtidos:
- Distribuição Binomial (a):
- Aproximação Normal (b):
A diferença entre os dois métodos é de cerca de 6%, o que indica que a aproximação pela normal não é muito precisa nesse caso. Isso ocorre porque o número de tentativas (n=12) não é muito grande e a probabilidade de sucesso (p=0,30) não está próxima de 0,5, condições que melhoram a precisão da aproximação normal.
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 4 dos 12 estudantes tenham um carro no campus é aproximadamente 58,8% usando a distribuição binomial. A aproximação pela distribuição normal resultou em 52,9%, mostrando que a aproximação não foi muito precisa nesse caso.