M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como
com
e
, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças
e
, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas
e
são como segue:
Suponha que, dadas as doenças
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Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
c) O paciente tem o sintoma
c) O paciente tem o sintoma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o uso do teorema de Bayes e probabilidade condicional no diagnóstico médico. Temos duas doenças possíveis,
e
, com probabilidades iniciais (ou prévias) de 60% e 40%, respectivamente. Além disso, sabemos as probabilidades de cada sintoma
,
e
ocorrer dado que o paciente tem uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir as probabilidades atualizadas (ou posteriores) de cada doença, sabendo que o paciente apresenta o sintoma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Bayes. Ele nos ajuda a atualizar nossas crenças sobre a probabilidade de um evento, com base em novas informações. No nosso caso, queremos atualizar a probabilidade de o paciente ter a doença
ou
, sabendo que ele apresentou o sintoma
.
A fórmula do teorema de Bayes é:
Onde:
-
é a probabilidade da doença dado o sintoma . -
é a probabilidade de ter o sintoma dado que a doença é . -
é a probabilidade prévia da doença . -
é a probabilidade total de ocorrer o sintoma .
Passo 3
Vamos calcular primeiro
, que é a probabilidade total de ocorrência do sintoma
. Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando o teorema de Bayes:
Isso significa que, dado que o paciente apresenta o sintoma
, a probabilidade de ele ter a doença
é de aproximadamente 88,2%.
Passo 5
Da mesma forma, vamos calcular
:
Isso indica que a probabilidade do paciente ter a doença
, dado o sintoma
, é de aproximadamente 11,8%.
Resposta
As probabilidades posteriores, dado que o paciente apresenta o sintoma
, são: