M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como com e , e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças e , as probabilidades de que o paciente terá os sintomas e são como segue:
Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
c) O paciente tem o sintoma

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o uso do teorema de Bayes e probabilidade condicional no diagnóstico médico. Temos duas doenças possíveis, e , com probabilidades iniciais (ou prévias) de 60% e 40%, respectivamente. Além disso, sabemos as probabilidades de cada sintoma , e ocorrer dado que o paciente tem uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir as probabilidades atualizadas (ou posteriores) de cada doença, sabendo que o paciente apresenta o sintoma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Bayes. Ele nos ajuda a atualizar nossas crenças sobre a probabilidade de um evento, com base em novas informações. No nosso caso, queremos atualizar a probabilidade de o paciente ter a doença ou , sabendo que ele apresentou o sintoma .
A fórmula do teorema de Bayes é:
Onde:
  • é a probabilidade da doença dado o sintoma .
  • é a probabilidade de ter o sintoma dado que a doença é .
  • é a probabilidade prévia da doença .
  • é a probabilidade total de ocorrer o sintoma .

Passo 3

Vamos calcular primeiro , que é a probabilidade total de ocorrência do sintoma . Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular usando o teorema de Bayes:
Isso significa que, dado que o paciente apresenta o sintoma , a probabilidade de ele ter a doença é de aproximadamente 88,2%.

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular :
Isso indica que a probabilidade do paciente ter a doença , dado o sintoma , é de aproximadamente 11,8%.

Resposta

As probabilidades posteriores, dado que o paciente apresenta o sintoma , são:

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A) 0,614
B) 0,194
C) 0,012
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Número de chamadas de serviço Probabilidade
0 0,10
1 0,15
2 0,30
3 0,20
4 0,15
5 0,10
f) Qual o número esperado de chamadas de serviço?