M. D. Computing descreve o uso do teorema de Bayes e o uso da probabilidade condicional no diagnóstico médico. As probabilidades prévias de doenças são baseadas na avaliação dos médicos de variáveis tais como localização geográfica, influência sazonal, ocorrência de epidemias e assim por diante. Suponha que se acredite que um paciente tenha uma de duas doenças, denotadas como D1 e D2 com P(D1)=0,60 e P(D2)=0,40, e que a pesquisa médica tenha determinado a probabilidade associada com cada sintoma que pode acompanhar as doenças.
Suponha que, dadas as doenças D1 e D2, as probabilidades de que o paciente terá os sintomas S1, S2 e S3 são como segue:
S1 S2 S3
D1 P(S1 mid D1)=0,15 P(S2 mid D1)=0,10 P(S3 mid D1)=0,15
D2 P(S1 mid D2)=0,80 P(S2 mid D2)=0,15 P(S3 mid D2)=0,03
Depois que constatar que um certo sintoma esteja presente, o diagnóstico médico pode ser auxiliado encontrando-se as probabilidades revisadas de cada doença em particular. Calcule as probabilidades posteriores de cada doença dada as seguintes constatações médicas:
c) O paciente tem o sintoma S3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o uso do teorema de Bayes e probabilidade condicional no diagnóstico médico. Temos duas doenças possíveis, D1 e D2, com probabilidades iniciais (ou prévias) de 60% e 40%, respectivamente. Além disso, sabemos as probabilidades de cada sintoma S1, S2 e S3 ocorrer dado que o paciente tem uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir as probabilidades atualizadas (ou posteriores) de cada doença, sabendo que o paciente apresenta o sintoma S3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema de Bayes. Ele nos ajuda a atualizar nossas crenças sobre a probabilidade de um evento, com base em novas informações. No nosso caso, queremos atualizar a probabilidade de o paciente ter a doença D1 ou D2, sabendo que ele apresentou o sintoma S3.
A fórmula do teorema de Bayes é:
P(Di mid S3) = P(S3 mid Di) cdot P(Di)P(S3)
Onde:
  • P(Di mid S3) é a probabilidade da doença Di dado o sintoma S3.
  • P(S3 mid Di) é a probabilidade de ter o sintoma S3 dado que a doença é Di.
  • P(Di) é a probabilidade prévia da doença Di.
  • P(S3) é a probabilidade total de ocorrer o sintoma S3.

Passo 3

Vamos calcular primeiro P(S3), que é a probabilidade total de ocorrência do sintoma S3. Para isso, usamos a regra da probabilidade total:
P(S3) = P(S3 mid D1) cdot P(D1) + P(S3 mid D2) cdot P(D2)
Substituindo os valores que temos:
P(S3) = (0,15 times 0,60) + (0,03 times 0,40) = 0,09 + 0,012 = 0,102

Passo 4

Agora, vamos calcular P(D1 mid S3) usando o teorema de Bayes:
P(D1 mid S3) = P(S3 mid D1) cdot P(D1)P(S3) = 0,15 times 0,600,102 = 0,090,102 approx 0,882
Isso significa que, dado que o paciente apresenta o sintoma S3, a probabilidade de ele ter a doença D1 é de aproximadamente 88,2%.

Passo 5

Da mesma forma, vamos calcular P(D2 mid S3):
P(D2 mid S3) = P(S3 mid D2) cdot P(D2)P(S3) = 0,03 times 0,400,102 = 0,0120,102 approx 0,118
Isso indica que a probabilidade do paciente ter a doença D2, dado o sintoma S3, é de aproximadamente 11,8%.

Resposta

As probabilidades posteriores, dado que o paciente apresenta o sintoma S3, são:
  • P(D1 mid S3) approx 88,2%
  • P(D2 mid S3) approx 11,8%

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