Um revendedor de automóveis novos constatou que 80% dos carros vendidos são devolvidos ao departamento mecânico para corrigir defeitos de fabricação, nos primeiros 25 dias após a venda. De 11 carros vendidos num período de 5 dias, qual é a probabilidade de que:
a) Todos voltem dentro de 25 dias para reparo?
a) Todos voltem dentro de 25 dias para reparo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um revendedor que descobriu que 80% dos carros que ele vende são devolvidos ao departamento mecânico nos primeiros 25 dias após a venda por defeitos de fabricação. Então, ele vendeu 11 carros em 5 dias e quer saber qual é a probabilidade de que todos esses 11 carros sejam devolvidos para reparo dentro desse prazo.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que têm dois resultados possíveis (neste caso, o carro é devolvido ou não). Vamos precisar conhecer a fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Distribuição Binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes (n), cada uma com duas possíveis resultados: sucesso (o carro é devolvido) ou fracasso (o carro não é devolvido). A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante §.
A fórmula da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas. -
é a probabilidade de obter exatamente k sucessos. -
é a probabilidade dos outros serem fracassos.
Passo 3
No nosso caso:
-
(número de carros vendidos) -
(queremos que todos os 11 sejam devolvidos) -
(80% de chance de um carro ser devolvido)
Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial
. Isso representa quantas maneiras existem de escolher 11 sucessos em 11 tentativas.
Sabemos que
, então
.
Passo 5
Agora, calculamos
:
E
:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, então
.
Passo 6
Agora, juntando tudo na fórmula:
Vamos calcular
.
Passo 7
Calculando
:
Isso significa que a probabilidade de que todos os 11 carros sejam devolvidos é aproximadamente 8,59%.
Resposta
A probabilidade de que todos os 11 carros vendidos sejam devolvidos para reparo dentro de 25 dias é de aproximadamente 8,59%.