Na comunicação entre servidores, uma mensagem é dividida em
pacotes, os quais são enviados em forma de códigos. Pelo histórico da rede, sabe-se que cada pacote tem uma pequena probabilidade, igual a 0,01, de não chegar corretamente a seu destino e, além disso, o fato de um pacote não chegar ao destino não altera a probabilidade dos demais chegarem corretamente. Um programa corretivo garante o envio correto da mensagem quando o número de pacotes enviados erroneamente não passar de 10% do total de pacotes da mensagem. Qual é a probabilidade de uma mensagem composta de 20 pacotes ser enviada corretamente? Responder usando:
a) a distribuição binomial;
b) a distribuição de Poisson.
a) a distribuição binomial;
b) a distribuição de Poisson.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mensagem dividida em 20 pacotes. Cada pacote tem uma chance de 1% de não chegar corretamente. A gente precisa descobrir a probabilidade de, no máximo, 10% desses pacotes (ou seja, até 2 pacotes) chegarem com erro. Vamos resolver isso usando duas abordagens: a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a distribuição binomial. Essa distribuição é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (n), cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é constante em cada tentativa.
No nosso caso:
- Número de pacotes,
- Probabilidade de um pacote dar erro,
- Queremos que no máximo 2 pacotes dêem erro.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial.
Passo 3
Vamos calcular
, ou seja, a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 pacotes darem erro.
Primeiro, para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 5
Então, usando a distribuição binomial, a probabilidade de a mensagem ser enviada corretamente é aproximadamente 99,74%.
Passo 6
Agora, vamos resolver usando a distribuição de Poisson. A Poisson é uma boa aproximação quando o número de tentativas é grande e a probabilidade de sucesso é pequena, como é o nosso caso.
A média da distribuição de Poisson é
.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
Passo 7
Vamos calcular
usando Poisson.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Somando essas probabilidades:
Passo 9
Então, usando a distribuição de Poisson, a probabilidade de a mensagem ser enviada corretamente é aproximadamente 99,88%.
Resposta
a) Usando a distribuição binomial, a probabilidade é aproximadamente 99,74%.
b) Usando a distribuição de Poisson, a probabilidade é aproximadamente 99,88%.