Na comunicação entre servidores, uma mensagem é dividida em n pacotes, os quais são enviados em forma de códigos. Pelo histórico da rede, sabe-se que cada pacote tem uma pequena probabilidade, igual a 0,01, de não chegar corretamente a seu destino e, além disso, o fato de um pacote não chegar ao destino não altera a probabilidade dos demais chegarem corretamente. Um programa corretivo garante o envio correto da mensagem quando o número de pacotes enviados erroneamente não passar de 10% do total de pacotes da mensagem. Qual é a probabilidade de uma mensagem composta de 20 pacotes ser enviada corretamente? Responder usando:
a) a distribuição binomial;
b) a distribuição de Poisson.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mensagem dividida em 20 pacotes. Cada pacote tem uma chance de 1% de não chegar corretamente. A gente precisa descobrir a probabilidade de, no máximo, 10% desses pacotes (ou seja, até 2 pacotes) chegarem com erro. Vamos resolver isso usando duas abordagens: a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a distribuição binomial. Essa distribuição é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas (n), cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é constante em cada tentativa.
No nosso caso:
  • Número de pacotes, P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
  • Probabilidade de um pacote dar erro,
  • Queremos que no máximo 2 pacotes dêem erro.
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde é o coeficiente binomial.

Passo 3

Vamos calcular P(X = 0) = binom200 (0.01)^0 (0.99)^20 = 1 times 1 times 0.99^20 approx 0.8171 , ou seja, a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 pacotes darem erro.
Primeiro, para P(X = 1) = binom201 (0.01)^1 (0.99)^19 = 20 times 0.01 times 0.99^19 approx 0.1653 :
P(X = 2) = binom202 (0.01)^2 (0.99)^18 = 190 times 0.0001 times 0.99^18 approx 0.0150
Para :
Para :

Passo 4

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0.8171 + 0.1653 + 0.0150 = 0.9974

Passo 5

Então, usando a distribuição binomial, a probabilidade de a mensagem ser enviada corretamente é aproximadamente 99,74%.

Passo 6

Agora, vamos resolver usando a distribuição de Poisson. A Poisson é uma boa aproximação quando o número de tentativas é grande e a probabilidade de sucesso é pequena, como é o nosso caso.
A média da distribuição de Poisson é P(X = k) = lambda^k e^-lambdak! .
A fórmula da distribuição de Poisson é:

Passo 7

Vamos calcular P(X = 0) = 0.2^0 e^-0.20! = 1 times e^-0.2 approx 0.8187 usando Poisson.
Para P(X = 1) = 0.2^1 e^-0.21! = 0.2 times e^-0.2 approx 0.1637 :
P(X = 2) = 0.2^2 e^-0.22! = 0.02 times e^-0.2 approx 0.0164
Para :
Para :

Passo 8

Somando essas probabilidades:
P(X <= 2) = 0.8187 + 0.1637 + 0.0164 = 0.9988

Passo 9

Então, usando a distribuição de Poisson, a probabilidade de a mensagem ser enviada corretamente é aproximadamente 99,88%.

Resposta

a) Usando a distribuição binomial, a probabilidade é aproximadamente 99,74%.
b) Usando a distribuição de Poisson, a probabilidade é aproximadamente 99,88%.

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