Suponha que 10 % dos clientes que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente suas contas (prestações). Se num dia particular, a loja vende a crédito para 10 pessoas, qual é a probabilidade de que mais de 20 % delas deixem de pagar regularmente as contas? Suponha que as 10 pessoas que fizeram crediário nesse dia correspondam a uma amostra aleatória de clientes potenciais desta loja.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade. O enunciado nos diz que 10% dos clientes que compram a crédito não pagam suas contas regularmente. Queremos descobrir a probabilidade de, em um dia em que 10 pessoas compram a crédito, mais de 20% delas (ou seja, mais de 2 pessoas) não pagarem regularmente. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial que vamos usar. Neste caso:
  • Número de tentativas (n): 10 pessoas
  • Probabilidade de sucesso §: 10% ou 0,10 (clientes que não pagam regularmente)
Estamos procurando a probabilidade de que mais de 2 pessoas não paguem regularmente, ou seja, P(X > 2).

Passo 3

Para encontrar P(X > 2), podemos calcular 1 menos a probabilidade de que no máximo 2 pessoas não paguem regularmente. Matemáticamente:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X \leq 2), que é a soma das probabilidades de exatamente 0, 1 e 2 pessoas não pagarem regularmente.
Calculando P(X = 0):
P(X = 0) = binom100 times (0,10)^0 times (0,90)^10 = 1 times 1 times 0,3487 = 0,3487
Calculando P(X = 1):
P(X = 1) = binom101 times (0,10)^1 times (0,90)^9 = 10 times 0,10 times 0,3874 = 0,3874
Calculando P(X = 2):
P(X = 2) = binom102 times (0,10)^2 times (0,90)^8 = 45 times 0,01 times 0,4305 = 0,1937

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298

Passo 6

Finalmente, subtraímos esse valor de 1 para encontrar P(X > 2):
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2) = 1 - 0,9298 = 0,0702

Resposta

A probabilidade de que mais de 20% das 10 pessoas não paguem regularmente é aproximadamente 7,02%.

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