A concentração de um medicamento no sangue de um paciente
horas após uma injeção é
miligramas por mililitro, em que
a) Qual é a concentração do mediamento imediatamente após a injeção
?
b) Qual é a variação da concentração do medicamento durante a 5a hora? A concentração aumenta ou diminui durante esse período?
c) Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração
b) Qual é a variação da concentração do medicamento durante a 5a hora? A concentração aumenta ou diminui durante esse período?
c) Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre a concentração de um medicamento no sangue de um paciente ao longo do tempo. A função que descreve essa concentração é:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções e limites para resolver as questões a), b) e c).
Passo 2
Parte a): Queremos saber a concentração do medicamento imediatamente após a injeção, ou seja, quando
.
Para isso, substituímos
na função
:
Lembrando que qualquer número elevado a 1,2 (ou qualquer potência) será 0 se a base for 0:
Então:
Passo 3
Parte b): Queremos saber como a concentração varia durante a 5ª hora, ou seja, de
horas até
horas. Também precisamos determinar se a concentração está aumentando ou diminuindo nesse período.
Primeiro, calculamos
e
:
Para
:
Calculando
:
Então:
Para
:
Calculando
:
Então:
Agora, a variação durante a 5ª hora é:
Como a variação é positiva, a concentração está aumentando durante esse período.
Passo 4
Parte c): Queremos encontrar a concentração residual do medicamento, ou seja, o valor que
se aproxima quando
tende ao infinito.
Matematicamente, isso é calculado como:
Analisando os termos separadamente:
- Para
, conforme cresce para o infinito, o denominador também cresce sem limite, fazendo com que a fração se aproxime de 0. - O termo constante
permanece o mesmo.
Portanto:
Resposta
a) A concentração imediatamente após a injeção é 0,413 mg/mL.
b) Durante a 5ª hora, a concentração varia aumentando em aproximadamente 0,0004 mg/mL.
c) A concentração residual do medicamento é 0,013 mg/mL.