A concentração de um medicamento no sangue de um paciente t horas após uma injeção é C(t) miligramas por mililitro, em que
C(t) = 0,4 / (t^1,2 + 1) + 0,013
a) Qual é a concentração do mediamento imediatamente após a injeção t = 0 ?
b) Qual é a variação da concentração do medicamento durante a 5a hora? A concentração aumenta ou diminui durante esse período?
c) Qual é a concentração residual do medicamento, ou seja, a concentração

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre a concentração de um medicamento no sangue de um paciente ao longo do tempo. A função que descreve essa concentração é:
Vamos precisar usar conhecimentos de funções e limites para resolver as questões a), b) e c).

Passo 2

Parte a): Queremos saber a concentração do medicamento imediatamente após a injeção, ou seja, quando .
Para isso, substituímos na função :
Lembrando que qualquer número elevado a 1,2 (ou qualquer potência) será 0 se a base for 0:
Então:

Passo 3

Parte b): Queremos saber como a concentração varia durante a 5ª hora, ou seja, de horas até horas. Também precisamos determinar se a concentração está aumentando ou diminuindo nesse período.
Primeiro, calculamos e :
Para :
Calculando :
Então:
Para :
Calculando :
Então:
Agora, a variação durante a 5ª hora é:
Como a variação é positiva, a concentração está aumentando durante esse período.

Passo 4

Parte c): Queremos encontrar a concentração residual do medicamento, ou seja, o valor que se aproxima quando tende ao infinito.
Matematicamente, isso é calculado como:
Analisando os termos separadamente:
  • Para , conforme cresce para o infinito, o denominador também cresce sem limite, fazendo com que a fração se aproxime de 0.
  • O termo constante permanece o mesmo.
Portanto:

Resposta

a) A concentração imediatamente após a injeção é 0,413 mg/mL.
b) Durante a 5ª hora, a concentração varia aumentando em aproximadamente 0,0004 mg/mL.
c) A concentração residual do medicamento é 0,013 mg/mL.

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