Seja
uma funçāo contínua. Inverta a ordem de integração para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma integração dupla de uma função contínua
sobre uma região
no plano
. O objetivo é inverter a ordem de integração na integral dada:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região
e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os limites de
vão de 0 a 1. Para cada
fixo nesse intervalo,
varia de
até
. Isso define
como o conjunto de pontos
onde:
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de
primeiro e depois de
. Isso significa que vamos determinar para cada
os valores de
que satisfazem as desigualdades da região
.
Passo 4
Vamos identificar os valores de
. Observando os limites de
, temos:
Para encontrar os limites gerais de
, analisamos os extremos quando
varia de 0 a 1:
- Quando
, . - Quando
, .
Então,
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, para cada
fixo, vamos encontrar os valores de
que satisfazem as desigualdades. Começamos com:
Vamos resolver essas desigualdades para
:
-
implica e, portanto, . -
implica , que rearranjando fica . Resolvendo essa inequação para , encontramos que varia de até . Mas para simplificar, observamos que a interseção dessas condições determina que varia de até o ponto onde as duas curvas se encontram.
Passo 6
Determinar o ponto de interseção das curvas
e
:
Como
está entre 0 e 1, o ponto de interseção é
. Isso significa que para
entre 0 e algum valor máximo menor que
, os limites de
estão bem definidos.
Passo 7
Para simplificar, consideramos que para
de 0 a 1,
varia de
a
. Portanto, a ordem invertida da integração fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é: