(2,5) Seja f: B subset R^2 R uma funçāo contínua. Inverta a ordem de integração para
integral duplaB f(x, y) d A=integral0^1[integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve uma integração dupla de uma função contínua integral duplaB f(x, y) , dA = integral0^1[integralraizx - x^2^raiz2x f(x, y) , dy] dx sobre uma região no plano . O objetivo é inverter a ordem de integração na integral dada:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região 0 <= x <= 1 e raizx - x^2 <= y <= raiz2x . Os limites de vão de 0 a 1. Para cada fixo nesse intervalo, varia de até . Isso define como o conjunto de pontos onde:

Passo 3

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de primeiro e depois de . Isso significa que vamos determinar para cada os valores de que satisfazem as desigualdades da região .

Passo 4

Vamos identificar os valores de raizx - x^2 <= y <= raiz2x . Observando os limites de , temos:
Para encontrar os limites gerais de , analisamos os extremos quando varia de 0 a 1:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, para cada raizx - x^2 <= y <= raiz2x fixo, vamos encontrar os valores de que satisfazem as desigualdades. Começamos com:
Vamos resolver essas desigualdades para :
  1. implica e, portanto, .
  2. implica , que rearranjando fica . Resolvendo essa inequação para , encontramos que varia de até . Mas para simplificar, observamos que a interseção dessas condições determina que varia de até o ponto onde as duas curvas se encontram.

Passo 6

Determinar o ponto de interseção das curvas raizx - x^2 = raiz2x implies x - x^2 = 2x implies -x^2 - x = 0 implies x(x + 1) = 0 e :
Como está entre 0 e 1, o ponto de interseção é . Isso significa que para entre 0 e algum valor máximo menor que , os limites de estão bem definidos.

Passo 7

Para simplificar, consideramos que para integral duplaB f(x, y) , dA = integral0^raiz2[integraly^22^1 f(x, y) , dx] dy de 0 a 1, varia de a . Portanto, a ordem invertida da integração fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral duplaB f(x, y) , dA = integral0^raiz2[integraly^22^1 f(x, y) , dx] dy

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