Resolva a equação diferencial quase Exata:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial quase exata:
. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na equação dada. Aqui,
e
. Para saber se a equação é exata, a gente verifica se
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa somente de
ou de
. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
.
Passo 5
O fator integrante
deve satisfazer:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial simples para
. Resolvendo:
Podemos escolher
sem perda de generalidade, então
.
Passo 7
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 8
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, calculamos
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.
Passo 10
Portanto, a solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.