Resolva a equação diferencial quase Exata: (10 - 6y + e^(-3x)) dx - 2 dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial quase exata: . A gente vai usar conceitos de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas e fatores integrantes. Precisamos verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na equação dada. Aqui, e . Para saber se a equação é exata, a gente verifica se .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa somente de ou de . Vamos supor que o fator integrante depende apenas de .

Passo 5

O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Essa é uma equação diferencial simples para . Resolvendo:
Podemos escolher sem perda de generalidade, então .

Passo 7

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 8

Agora, a equação é exata. Vamos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :

Passo 9

Agora, calculamos e igualamos a :
Isso implica que , então é constante. Podemos ignorar essa constante na solução geral.

Passo 10

Portanto, a solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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