A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N . Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica, que segue uma distribuição normal, ou seja, N . Aqui, 8 é a média (μ) e 2,25 é a variância (σ²). Nosso objetivo é descobrir qual a chance de, em um dia qualquer, a concentração desse poluente ultrapassar o limite regulatório de 10 ppm. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e o cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da distribuição normal N . A média (μ) é 8 ppm, o que significa que, em média, a concentração do poluente é de 8 ppm. A variância (σ²) é 2,25, e para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a concentração do poluente seja maior que 10 ppm. Em termos matemáticos, queremos calcular:
Para isso, vamos padronizar essa variável para a distribuição normal padrão (Z), usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o valor de Z ≈ 1,333, vamos consultar a tabela da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a área à esquerda desse valor, ou seja, P(Z < 1,333). Mas a gente quer P(Z > 1,333), então vamos fazer:
Consultando a tabela ou calculadora, encontramos que aproximadamente:
Então:

Resposta

A chance de, em um dia qualquer, a concentração do poluente exceder 10 ppm é de aproximadamente 9,18%.

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Suponha que numa certa região, o peso dos homens adultos tenha distribuição normal com média 70 kg e desvio padrão 16 kg , e o peso das mulheres adultas tenha distribuição normal com média 60 kg e desvio padrão 12 kg . Ao selecionar uma pessoa ao acaso, o que é mais provável: uma mulher com mais de 75 kg ou um homem com mais de 90 kg ? Responda calculando essas probabilidades.
Considere os dados obtidos pelas medidas das alturas de 50 indivíduos dadas em cm :
60 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
a) Fazer o rol e agrupar os dados em classes de frequência.
b) Construir o histograma e o polígono de frequência da distribuição.
c) Determinar a moda e o coeficiente de variação.
d) Calcular o coeficiente de curtose e dizer que tipo de curva corresponde a amostra.
Três máquinas, e C produzem respectivamente e do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são e . Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina ?