A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N (8 ; 2,25). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica, que segue uma distribuição normal, ou seja, N (8 ; 2,25). Aqui, 8 é a média (μ) e 2,25 é a variância (σ²). Nosso objetivo é descobrir qual a chance de, em um dia qualquer, a concentração desse poluente ultrapassar o limite regulatório de 10 ppm. Para isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e o cálculo de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da distribuição normal N (8 ; 2,25). A média (μ) é 8 ppm, o que significa que, em média, a concentração do poluente é de 8 ppm. A variância (σ²) é 2,25, e para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância:
σ = raiz2,25 = 1,5

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a concentração do poluente seja maior que 10 ppm. Em termos matemáticos, queremos calcular:
P(X > 10)
Para isso, vamos padronizar essa variável para a distribuição normal padrão (Z), usando a fórmula:
Z = X - μσ
Substituindo os valores:
Z = 10 - 81,5 = 21,5 approx 1,333

Passo 4

Com o valor de Z ≈ 1,333, vamos consultar a tabela da distribuição normal padrão ou usar uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a área à esquerda desse valor, ou seja, P(Z < 1,333). Mas a gente quer P(Z > 1,333), então vamos fazer:
P(Z > 1,333) = 1 - P(Z < 1,333)
Consultando a tabela ou calculadora, encontramos que aproximadamente:
P(Z < 1,333) approx 0,9082
Então:
P(Z > 1,333) = 1 - 0,9082 = 0,0918

Resposta

A chance de, em um dia qualquer, a concentração do poluente exceder 10 ppm é de aproximadamente 9,18%.

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