Três máquinas,
e C produzem respectivamente
e
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são
e
. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças em uma fábrica. Além disso, cada máquina tem uma taxa específica de peças defeituosas. Precisamos calcular a probabilidade de que, se uma peça defeituosa foi sorteada, ela veio da máquina B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já conhecemos:
-
Produção das máquinas:
- Máquina A: 40% ou
- Máquina B: 50% ou
- Máquina C: 10% ou
- Máquina A: 40% ou
-
Probabilidade de peça defeituosa por máquina:
- Máquina A: 3% ou
- Máquina B: 5% ou
- Máquina C: 2% ou
- Máquina A: 3% ou
Passo 3
Agora, queremos encontrar
, que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular
, que é a probabilidade de uma peça ser defeituosa de qualquer máquina. Isso é a soma das probabilidades de uma peça defeituosa vir de cada máquina, multiplicadas pela probabilidade de uma peça vir de cada máquina:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,1%.