Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40 %, 50 % e 10 % do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3 %, 5 % e 2 %. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha vindo da máquina B?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três máquinas, A, B e C, que produzem diferentes porcentagens do total de peças em uma fábrica. Além disso, cada máquina tem uma taxa específica de peças defeituosas. Precisamos calcular a probabilidade de que, se uma peça defeituosa foi sorteada, ela veio da máquina B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já conhecemos:
  • Produção das máquinas:
    • Máquina A: 40% ou
    • Máquina B: 50% ou
    • Máquina C: 10% ou
  • Probabilidade de peça defeituosa por máquina:
    • Máquina A: 3% ou
    • Máquina B: 5% ou
    • Máquina C: 2% ou

Passo 3

Agora, queremos encontrar P(B|D) = P(D|B) times P(B)P(D) , que é a probabilidade de a peça ter vindo da máquina B dado que ela é defeituosa. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular P(D) = P(D|A) times P(A) + P(D|B) times P(B) + P(D|C) times P(C) , que é a probabilidade de uma peça ser defeituosa de qualquer máquina. Isso é a soma das probabilidades de uma peça defeituosa vir de cada máquina, multiplicadas pela probabilidade de uma peça vir de cada máquina:
P(D) = 0,03 times 0,40 + 0,05 times 0,50 + 0,02 times 0,10
Substituindo os valores:
P(D) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039

Passo 5

Agora que temos P(B|D) = 0,05 times 0,500,039 = 0,0250,039 approx 0,641 , podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a peça defeituosa tenha vindo da máquina B é de aproximadamente 64,1%.

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