A concentração de um reagente em uma solução após 30 minutos de reação segue uma distribuição normal N(5,0.25). Determine a probabilidade de que a concentração esteja entre 4, 75 e 5, 25 mol / L.
Solução. Para X sim N(5,0.25), queremos calcular P(4.75 <= X <= 5.25) :
P(4.75 <= X <= 5.25)=P(4.75-50.5 <= Z <= 5.25-50.5)=P(-0.5 <= Z <= 0.5)
Usando a tabela da normal padrão, P(-0.5 <= Z <= 0.5) approx 0.3829.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que a concentração de um reagente em uma solução após 30 minutos segue uma distribuição normal, representada por . Isso significa que a média ( ) é 5 mol/L e o desvio padrão ( ) é a raiz quadrada de 0.25, ou seja, 0.5 mol/L. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de a concentração estar entre 4.75 e 5.25 mol/L. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição normal e a tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos padronizar os valores 4.75 e 5.25 para transformar nossa distribuição normal Z = X - musigma na distribuição normal padrão . A padronização é feita usando a fórmula:

Passo 3

Aplicando a fórmula para os nossos limites:
Para Z = 4.75 - 50.5 = -0.250.5 = -0.5 :
Z = 5.25 - 50.5 = 0.250.5 = 0.5
Para :

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de estar entre -0.5 e 0.5, ou seja, . Isso representa a área sob a curva da distribuição normal padrão entre esses dois valores de .

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z), encontramos as probabilidades correspondentes a P(Z <= 0.5) approx 0.6915 e P(Z <= -0.5) approx 1 - 0.6915 = 0.3085 .
Sabemos que a distribuição normal é simétrica em torno de zero, então:

Passo 6

Para encontrar a probabilidade entre -0.5 e 0.5, subtraímos as duas probabilidades:
P(-0.5 <= Z <= 0.5) = P(Z <= 0.5) - P(Z <= -0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.383

Resposta

A probabilidade de que a concentração esteja entre 4.75 e 5.25 mol/L é aproximadamente ou .

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