Se forem escolhidos 4 funcionários ao acaso, determine a probabilidade de exatamente 2 deles executarem a tarefa em no máximo 32 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a probabilidade de, ao escolher 4 funcionários de forma aleatória, exatamente 2 deles conseguirem executar uma tarefa em no máximo 32 minutos. Isso envolve conceitos de probabilidade binomial, onde a gente calcula a chance de um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas. Para resolver, vamos precisar saber a probabilidade individual de um funcionário conseguir fazer a tarefa nesse tempo e, em seguida, aplicar a fórmula da distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), as probabilidades de sucesso e fracasso são constantes, e as tentativas são independentes.
Aqui, nosso número de tentativas
é 4 (os funcionários escolhidos). Queremos exatamente 2 sucessos, então
. A probabilidade de sucesso em uma tentativa, ou seja, um funcionário conseguir executar a tarefa em no máximo 32 minutos, vamos chamar de
. A probabilidade de fracasso será então
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de obter exatamente sucessos. -
é a probabilidade de obter os restantes fracassos.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial:
- Probabilidade de sucesso ao quadrado (já que queremos exatamente 2 sucessos):
- Probabilidade de fracasso ao quadrado (os outros 2 funcionários não conseguem):
Passo 5
Agora, juntando tudo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de exatamente 2 dos 4 funcionários escolherem executarem a tarefa em no máximo 32 minutos é: