Se forem escolhidos 4 funcionários ao acaso, determine a probabilidade de exatamente 2 deles executarem a tarefa em no máximo 32 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a probabilidade de, ao escolher 4 funcionários de forma aleatória, exatamente 2 deles conseguirem executar uma tarefa em no máximo 32 minutos. Isso envolve conceitos de probabilidade binomial, onde a gente calcula a chance de um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas. Para resolver, vamos precisar saber a probabilidade individual de um funcionário conseguir fazer a tarefa nesse tempo e, em seguida, aplicar a fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que vamos usar na distribuição binomial. A distribuição binomial é usada quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), as probabilidades de sucesso e fracasso são constantes, e as tentativas são independentes.
Aqui, nosso número de tentativas é 4 (os funcionários escolhidos). Queremos exatamente 2 sucessos, então . A probabilidade de sucesso em uma tentativa, ou seja, um funcionário conseguir executar a tarefa em no máximo 32 minutos, vamos chamar de . A probabilidade de fracasso será então .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de obter exatamente sucessos.
  • é a probabilidade de obter os restantes fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial:
binom42 = 4!2! times (4 - 2)! = 242 times 2 = 6
  1. Probabilidade de sucesso ao quadrado (já que queremos exatamente 2 sucessos):
p^2
  1. Probabilidade de fracasso ao quadrado (os outros 2 funcionários não conseguem):
(1 - p)^2

Passo 5

Agora, juntando tudo na fórmula:
P(X = 2) = 6 times p^2 times (1 - p)^2

Resposta

A probabilidade de exatamente 2 dos 4 funcionários escolherem executarem a tarefa em no máximo 32 minutos é:
P(X = 2) = 6 times p^2 times (1 - p)^2

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