Em um experimento, a concentração de íns em solução é modelada como uma variável aleatória normal X sim N(0.5,0.1^2) em mol/L. Determine o valor de concentração x tal que P(X <= x)=0.99.
Solução. Para X sim N(0.5,0.1^2), procuramos x tal que P(X <= x)=0.99. Usando a tabela, sabemos que P(Z <= 2.33)=0.99. Portanto,
x-0.50.1=2.33 Rightarrow x=0.5+2.33(0.1)=0.733

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a concentração de íons em uma solução que segue uma distribuição normal em mol/L. O objetivo é encontrar o valor de concentração tal que a probabilidade de ser menor ou igual a seja 0.99, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre distribuição normal, usar a tabela da distribuição normal padrão e aplicar algumas transformações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar nossa variável Z = X - musigma para a variável padrão , que segue uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão 1, ou seja, . A fórmula para essa transformação é:
onde:
  • (média da distribuição de )
  • (desvio padrão da distribuição de )

Passo 3

Queremos encontrar o valor de P(Z <= 2.33) = 0.99 tal que . Isso significa que queremos o valor de correspondente a uma probabilidade acumulada de 0.99 na distribuição normal padrão. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos usar o valor de x = mu + z times sigma para encontrar x = 0.5 + 2.33 times 0.1 usando a fórmula de transformação que mencionamos no Passo 2:
x = 0.5 + 0.233 = 0.733
Substituindo os valores que temos:

Resposta

O valor de concentração é 0.733 mol/L.

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