Considere uma população
com um
elementos distintos, quantas são as possíveis amostras aleatórias, sem reposição, tamanho
, com
, retiradas de
? Justifique sua resposta. Para
e
, qual é a probabilidade de que o elemento
figure na amostra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre combinações em probabilidade. A gente tem uma população de
elementos distintos e quer saber quantas formas de escolhermos uma amostra de tamanho
sem repetir nenhum elemento. Além disso, queremos calcular a probabilidade de que um elemento específico,
, esteja na amostra escolhida.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras diferentes podemos escolher 6 elementos de um total de 60 sem reposição. Isso é conhecido como combinação, porque a ordem não importa aqui.
Passo 3
A fórmula para combinações é:
Onde:
-
é o fatorial de (60!), -
é o fatorial de (6!), -
é o fatorial da diferença entre e (54!).
Passo 4
Aplicando os valores:
Isso nos dá o número total de amostras possíveis de 6 elementos que podemos tirar de 60.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de que o elemento
esteja na amostra. Para isso, pensamos nas amostras que realmente contêm o
.
Passo 6
Se já temos o
na amostra, precisamos escolher mais 5 elementos dos 59 restantes. Então, o número de combinações que incluem o
é:
Passo 7
A probabilidade é então o número de combinações que incluem o
dividido pelo número total de combinações:
Resposta
O número de possíveis amostras é
. A probabilidade de que o elemento
figure na amostra é
.