Considere uma população P=a1, a2, ldots, aN com um N elementos distintos, quantas são as possíveis amostras aleatórias, sem reposição, tamanho n, com n, retiradas de P? Justifique sua resposta. Para N=60 e n=6, qual é a probabilidade de que o elemento a1 figure na amostra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre combinações em probabilidade. A gente tem uma população de N=60 elementos distintos e quer saber quantas formas de escolhermos uma amostra de tamanho n=6 sem repetir nenhum elemento. Além disso, queremos calcular a probabilidade de que um elemento específico, a1, esteja na amostra escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quantas maneiras diferentes podemos escolher 6 elementos de um total de 60 sem reposição. Isso é conhecido como combinação, porque a ordem não importa aqui.

Passo 3

A fórmula para combinações é:
C(N, n) = N!n!(N - n)!
Onde:
  • N! é o fatorial de N (60!),
  • n! é o fatorial de n (6!),
  • (N - n)! é o fatorial da diferença entre N e n (54!).

Passo 4

Aplicando os valores:
C(60, 6) = 60!6! times 54!
Isso nos dá o número total de amostras possíveis de 6 elementos que podemos tirar de 60.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de que o elemento a1 esteja na amostra. Para isso, pensamos nas amostras que realmente contêm o a1.

Passo 6

Se já temos o a1 na amostra, precisamos escolher mais 5 elementos dos 59 restantes. Então, o número de combinações que incluem o a1 é:
C(59, 5) = 59!5! times 54!

Passo 7

A probabilidade é então o número de combinações que incluem o a1 dividido pelo número total de combinações:
P(a1 está na amostra) = C(59, 5)C(60, 6) á

Resposta

O número de possíveis amostras é 60!6! times 54!. A probabilidade de que o elemento a1 figure na amostra é C(59, 5)C(60, 6).

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