Uma máquina de encher pacotes de determinado produto em pó enche-os de forma que o peso dos pacotes é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e desvio padrão
. A média amostral resultante de uma amostra aleatória de 16 pacotes enchidos por esta máquina é usada para decidir se o processo de produção está operando satisfatoriamente ou não, toma-se a seguinte regra decisória: Se o peso médio amostral, em gramas, está compreendido entre 230 g e 270 g diz-se que o processo está operando satisfatoriamente. Caso contrário deve-se parar a produção para regular a máquina. Determine a probabilidade de que tal amostra de 30 pacotes enchidos pela máquina tenha peso total, em gramas, superior a 6126 g?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma máquina que enche pacotes de pó, e o peso de cada pacote é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e desvio padrão
. A gente vai pegar uma amostra de 30 pacotes e quer saber qual a probabilidade do peso total desses pacotes ser superior a 6126 gramas. Para resolver isso, vamos usar a teoria da distribuição normal e propriedades de soma de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “peso total superior a 6126 g”. Se temos 30 pacotes, o peso total é a soma dos pesos individuais. Como cada pacote tem peso normalmente distribuído, a soma também será normalmente distribuída. Precisamos encontrar a média e o desvio padrão dessa soma.
Passo 3
A média da soma dos pesos é igual ao número de pacotes multiplicado pela média de cada pacote. Então:
Passo 4
O desvio padrão da soma é igual à raiz quadrada de n vezes o desvio padrão de cada pacote. Mas como estamos somando variáveis independentes, o desvio padrão da soma é dado por:
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de a soma ser maior que 6126 g. Isso é equivalente a:
Vamos padronizar essa variável para usar a tabela da distribuição normal padrão.
Passo 6
Para padronizar, usamos a fórmula:
Passo 7
O valor de Z obtido é extremamente negativo, o que indica que a probabilidade acumulada até 6126 g é praticamente zero. Portanto:
Resposta
A probabilidade de que a soma dos pesos de 30 pacotes seja superior a 6126 g é praticamente 100%.