Em um condutor cilíndrico de comprimento e raio , a densidade de corrente varia com a distância radial do eixo de acordo com a expressão . Determine:
(a) A corrente total que atravessa a área da seção transversal do condutor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico com comprimento de 2 metros e raio de 2 milímetros. A densidade de corrente, que é basicamente quanta corrente está passando por uma área específica, varia à medida que nos afastamos do centro do cilindro. A expressão dada para a densidade de corrente é (A/m²). Nosso objetivo aqui é encontrar a corrente total que atravessa a seção transversal desse condutor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais, para somar todas as pequenas correntes que passam em cada parte da área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a corrente total é obtida integrando a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Como o condutor é cilíndrico e a densidade de corrente depende apenas da distância radial do eixo, é conveniente usar coordenadas polares para essa integração.
A área diferencial em coordenadas polares é . Assim, a expressão para a corrente total será:

Passo 3

Substituindo a expressão de na integral, temos:
Podemos simplificar os constantes fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Essa é uma integral que envolve um produto de e uma função exponencial. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Continuando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Calculando para :
E para :
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos de volta:
Calculando cada termo:
Somando todos:

Passo 7

Agora, retornamos à expressão da corrente total:
Calculando:

Resposta

A corrente total que atravessa a seção transversal do condutor é aproximadamente .

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