Em um condutor cilíndrico de comprimento L=2 m e raio R=2 mm, a densidade de corrente varia com a distância radial do eixo de acordo com a expressão J=10^3 cdot e^-400 r(Am^2). Determine:
(a) A corrente total que atravessa a área da seção transversal do condutor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico com comprimento de 2 metros e raio de 2 milímetros. A densidade de corrente, que é basicamente quanta corrente está passando por uma área específica, varia à medida que nos afastamos do centro do cilindro. A expressão dada para a densidade de corrente é (A/m²). Nosso objetivo aqui é encontrar a corrente total que atravessa a seção transversal desse condutor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais, para somar todas as pequenas correntes que passam em cada parte da área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a corrente total I = integral0^R J cdot dA = integral0^R J cdot 2pi r , dr é obtida integrando a densidade de corrente sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Como o condutor é cilíndrico e a densidade de corrente depende apenas da distância radial do eixo, é conveniente usar coordenadas polares para essa integração.
A área diferencial em coordenadas polares é . Assim, a expressão para a corrente total será:

Passo 3

Substituindo a expressão de I = integral0^R 10^3 cdot e^-400 r cdot 2pi r , dr na integral, temos:
I = 2pi cdot 10^3 integral0^R r cdot e^-400 r , dr
Podemos simplificar os constantes fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Essa é uma integral que envolve um produto de integral r cdot e^-400 r , dr = -r400 e^-400 r + 1400 integral e^-400 r , dr e uma função exponencial. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
= -r400 e^-400 r - 1160000 e^-400 r + C
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Continuando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a integral0^0,002 r cdot e^-400 r , dr = [ -r400 e^-400 r - 1160000 e^-400 r ]0^0,002 :
-0,002400 e^-400 times 0,002 - 1160000 e^-400 times 0,002 = -0,002400 e^-0,8 - 1160000 e^-0,8
Calculando para -0400 e^0 - 1160000 e^0 = -0 - 1160000 :
( -0,002400 e^-0,8 - 1160000 e^-0,8 ) - ( -1160000 )
E para :
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculamos e^-0,8 approx 0,4493 :
-0,002400 times 0,4493 - 1160000 times 0,4493 + 1160000
Agora, substituímos de volta:
-0,002400 times 0,4493 = -0,002400 times 0,4493 = -2,2465 times 10^-6
Calculando cada termo:
-1160000 times 0,4493 = -2,8081 times 10^-6
1160000 = 6,25 times 10^-6
-2,2465 times 10^-6 - 2,8081 times 10^-6 + 6,25 times 10^-6 = 1,1954 times 10^-6
Somando todos:

Passo 7

Agora, retornamos à expressão da corrente total:
I = 2pi cdot 10^3 times 1,1954 times 10^-6
Calculando:
I = 2 times 3,1416 times 10^3 times 1,1954 times 10^-6 approx 7,50 times 10^-3 , A

Resposta

A corrente total que atravessa a seção transversal do condutor é aproximadamente .

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