Em um condutor cilíndrico de comprimento
e raio
, a densidade de corrente varia com a distância radial do eixo de acordo com a expressão
. Determine:
(a) A corrente total que atravessa a área da seção transversal do condutor?
(a) A corrente total que atravessa a área da seção transversal do condutor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico com comprimento de 2 metros e raio de 2 milímetros. A densidade de corrente, que é basicamente quanta corrente está passando por uma área específica, varia à medida que nos afastamos do centro do cilindro. A expressão dada para a densidade de corrente é
(A/m²). Nosso objetivo aqui é encontrar a corrente total que atravessa a seção transversal desse condutor. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente integrais, para somar todas as pequenas correntes que passam em cada parte da área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a corrente total
é obtida integrando a densidade de corrente
sobre toda a área da seção transversal do cilindro. Como o condutor é cilíndrico e a densidade de corrente depende apenas da distância radial
do eixo, é conveniente usar coordenadas polares para essa integração.
A área diferencial em coordenadas polares é
. Assim, a expressão para a corrente total será:
Passo 3
Substituindo a expressão de
na integral, temos:
Podemos simplificar os constantes fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral que envolve um produto de
e uma função exponencial. Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Continuando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Calculando para
:
E para
:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos de volta:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Passo 7
Agora, retornamos à expressão da corrente total:
Calculando:
Resposta
A corrente total que atravessa a seção transversal do condutor é aproximadamente
.
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, onde r é a distância radial e
.
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Calcule