Uma barra em forma cilíndrica com comprimento e raio a cujo eixo é paralelo ao eixo possui magnetização dada por . Obtenha , rhoM e sigmaM. Considere a origem do sistema de coordenadas no centro da barra.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente analisar uma barra cilíndrica com comprimento $ L $ e raio $ a $, onde o eixo dela está paralelo ao eixo $ z $. A magnetização dessa barra é dada por $ \vec{M} = \left(1 + z^{2}\right) \hat{k} $. Nosso objetivo é encontrar quatro coisas: $ J_{M} $ (a densidade de corrente de magnetização), $ |\vec{J}{M}| $ (o módulo dessa densidade), $ \rho{M} $ (a densidade de carga de magnetização) e $ \sigma_{M} $ (a densidade de superfície de carga de magnetização). Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de magnetização e como calcular essas densidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de magnetização $ \vec{J}_{M} $ é dada pelo rotacional da magnetização:
JM
Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de $ \vec{M} = \left(1 + z^{2}\right) \hat{k} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \nabla \times \vec{M} $. Em coordenadas cartesianas, o rotacional de um vetor $ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k} $ é dado por:
nabla times M
No nosso caso, $ \vec{M} = \left(1 + z^{2}\right) \hat{k} $, então $ A_x = 0 $, $ A_y = 0 $ e $ A_z = 1 + z^{2} $.
Passo 4
Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times M = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) i + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Como $ A_x = A_y = 0 $, as derivadas de $ A_x $ e $ A_y $ em relação a qualquer variável serão zero. Então:
Ax = Ay = 0
Então, $ \vec{J}_{M} = 0 $.
Passo 5
Agora que sabemos que $ \vec{J}_{M} = 0 $, o módulo dessa densidade de corrente é simplesmente:
JM = 0
Passo 6
A densidade de carga de magnetização $ \rho_{M} $ está relacionada com o divergente da magnetização:
rhoM
Vamos calcular isso para $ \vec{M} = \left(1 + z^{2}\right) \hat{k} $.
Passo 7
O divergente de $ \vec{M} $ em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot M = partial Mxpartial x + partial Mypartial y + partial Mzpartial z
Portanto,
M = (1 + z^2) k
Passo 8
Por fim, a densidade de superfície de carga de magnetização $ \sigma_{M} $ é dada pela relação:
sigmaM
onde $ \hat{n} $ é o vetor normal à superfície. Para uma barra cilíndrica, o vetor normal na superfície lateral é radial, ou seja, $ \hat{n} = \hat{r} $. Como $ \vec{M} = \left(1 + z^{2}\right) \hat{k} $ é paralelo ao eixo $ z $ e $ \hat{r} $ é perpendicular a $ \hat{k} $, o produto escalar será zero.