Um condutor feito de prata tem a forma de um tronco de cone com raio da base menor 5 cm e raio da base maior 20 cm . Sendo seu comprimento 50 cm , determine sua resistência elétrica. Dado: resistividade elétrica da prata =1,6 times 10^-8 Omega m.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um condutor de prata que tem a forma de um tronco de cone. As medidas que conhecemos são:
  • Raio da base menor: 5 cm
  • Raio da base maior: 20 cm
  • Comprimento (altura do tronco de cone): 50 cm
  • Resistividade elétrica da prata: $ \rho = 1,6 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
O que precisamos encontrar é a resistência elétrica desse condutor. Para isso, vamos usar conceitos de resistividade elétrica e geometria dos sólidos, especificamente para um tronco de cone.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula básica da resistência elétrica. A resistência $ R $ de um material é dada por:
R
Onde:
  • $ \rho $ é a resistividade elétrica do material,
  • $ L $ é o comprimento do condutor,
  • $ A $ é a área da seção transversal.
No entanto, como o tronco de cone tem um raio que varia ao longo do comprimento, a área da seção transversal $ A $ não é constante. Isso significa que precisamos integrar a resistência ao longo de todo o comprimento.

Passo 3

Vamos considerar uma fatia infinitesimal do tronco de cone com espessura $ dx $ em uma posição $ x $. O raio nessa posição é dado por:
dx
Onde:
  • $ r_1 = 5 , cm = 0,05 , m $ é o raio da base menor,
  • $ r_2 = 20 , cm = 0,20 , m $ é o raio da base maior,
  • $ L = 50 , cm = 0,50 , m $ é o comprimento total.
A área da seção transversal nessa posição é:
x

Passo 4

A resistência infinitesimal dessa fatia é:
dR = rho dxA(x)
Portanto, a resistência total $ R $ é a integral de $ dR $ de 0 a $ L $:
R
Simplificando a expressão dentro da integral:
dR

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral dx(a + bx)^2 = -1b(a + bx) + C
Aplicando isso na nossa integral:
R = rhopi [ -10,30(0,05 + 0,30x) ]0^0,50
Calculando os limites:
R = 1,6 times 10^-8pi times 0,30 ( 10,05 - 10,05 + 0,30 times 0,50 )
R = 1,6 times 10^-80,9424778 ( 20 - 10,20 )
R = 1,6 times 10^-80,9424778 (20 - 5)
R = 1,6 times 10^-80,9424778 times 15

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
R = 1,6 times 10^-8 times 150,9424778 approx 2,4 times 10^-70,9424778 approx 2,55 times 10^-7 , Omega

Resposta

A resistência elétrica do condutor é aproximadamente $ 2,55 \times 10^{-7} , \Omega $.

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