Um condutor feito de prata tem a forma de um tronco de cone com raio da base menor 5 cm e raio da base maior 20 cm . Sendo seu comprimento 50 cm , determine sua resistência elétrica. Dado: resistividade elétrica da prata
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um condutor de prata que tem a forma de um tronco de cone. As medidas que conhecemos são:
- Raio da base menor: 5 cm
- Raio da base maior: 20 cm
- Comprimento (altura do tronco de cone): 50 cm
- Resistividade elétrica da prata: $ \rho = 1,6 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $
O que precisamos encontrar é a resistência elétrica desse condutor. Para isso, vamos usar conceitos de resistividade elétrica e geometria dos sólidos, especificamente para um tronco de cone.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula básica da resistência elétrica. A resistência $ R $ de um material é dada por:
Onde:
- $ \rho $ é a resistividade elétrica do material,
- $ L $ é o comprimento do condutor,
- $ A $ é a área da seção transversal.
No entanto, como o tronco de cone tem um raio que varia ao longo do comprimento, a área da seção transversal $ A $ não é constante. Isso significa que precisamos integrar a resistência ao longo de todo o comprimento.
Passo 3
Vamos considerar uma fatia infinitesimal do tronco de cone com espessura $ dx $ em uma posição $ x $. O raio nessa posição é dado por:
Onde:
- $ r_1 = 5 , cm = 0,05 , m $ é o raio da base menor,
- $ r_2 = 20 , cm = 0,20 , m $ é o raio da base maior,
- $ L = 50 , cm = 0,50 , m $ é o comprimento total.
A área da seção transversal nessa posição é:
Passo 4
A resistência infinitesimal dessa fatia é:
Portanto, a resistência total $ R $ é a integral de $ dR $ de 0 a $ L $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Aplicando isso na nossa integral:
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Resposta
A resistência elétrica do condutor é aproximadamente $ 2,55 \times 10^{-7} , \Omega $.