A constante de força da molécula de ^35 Cl^35 Cl é 319 Nm^-1. Calcule a frequência de vibração fundamental e a energia do ponto zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma molécula de cloro ( ^35 Cl^35 Cl) com uma constante de força de 319 Nm^-1. Nosso objetivo é calcular duas coisas: a frequência de vibração fundamental e a energia do ponto zero. Para isso, vamos usar conceitos de vibrações moleculares e física quântica, como a massa reduzida e a energia do oscilador harmônico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa reduzida da molécula. A massa reduzida ( mu) é dada pela fórmula:
mu = m1 times m2m1 + m2
Como temos uma molécula de ^35 Cl^35 Cl, as duas massas são iguais: m1 = m2 = 35 , u (unidades de massa atômica). Então:
mu = 35 times 3535 + 35 = 122570 = 17,5 , u

Passo 3

Agora, precisamos converter essa massa reduzida de unidades de massa atômica (u) para quilogramas (kg). Sabemos que:
1 , u = 1,66053906660 times 10^-27 , kg
Portanto:
mu = 17,5 times 1,66053906660 times 10^-27 , kg approx 2,906463 times 10^-26 , kg

Passo 4

Com a massa reduzida em kg, podemos calcular a frequência de vibração fundamental ( nu) usando a fórmula:
nu = 12pi raizkmu
Onde:
  • k = 319 , Nm^-1 (constante de força)
  • mu = 2,906463 times 10^-26 , kg
Substituindo os valores:
nu = 12pi raiz3192,906463 times 10^-26
Calculando o que está dentro da raiz:
3192,906463 times 10^-26 approx 1,097 times 10^28 , s^-2
Então:
nu = 12pi raiz1,097 times 10^28 approx 16,2832 times 3,309 times 10^14 approx 5,266 times 10^13 , Hz

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia do ponto zero ( E0). Essa energia é a energia mínima que uma molécula possui mesmo no estado fundamental de vibração e é dada por:
E0 = 12 h nu
Onde:
  • h = 6,62607015 times 10^-34 , J·s (constante de Planck)
  • nu = 5,266 times 10^13 , Hz
Substituindo os valores:
E0 = 12 times 6,62607015 times 10^-34 times 5,266 times 10^13 approx 1,744 times 10^-20 , J

Resposta

A frequência de vibração fundamental é aproximadamente 5,27 times 10^13 , Hz e a energia do ponto zero é cerca de 1,74 times 10^-20 , J.

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