Um condutor longo, oco, cilíndrico (raio interno 2,0 mm, raio externo 4,0 mm ), é percorrido por uma corrente de 24 A distribuída uniformemente na seção reta. Um fio longo e fino, coaxial com o cilindro, conduz uma corrente de 24 A no sentido oposto. Determine o módulo do campo magnético a (a) 1,0 mm, (b) 3,0 mm e © 5,0 mm de distância do eixo central do fio e do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um condutor cilíndrico oco com raio interno de 2,0 mm e raio externo de 4,0 mm, que transporta uma corrente de 24 A distribuída de forma uniforme. Além disso, há um fio bem fino, no mesmo eixo, que conduz uma corrente de 24 A no sentido oposto. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo magnético a diferentes distâncias do centro desse sistema: 1,0 mm, 3,0 mm e 5,0 mm. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente que o gera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Ampère. Ela diz que o circuito fechado da integral do campo magnético ($ \mathbf{B} B éàá \mu_0 mu0 I_{enc} $) que atravessa esse caminho. Em fórmula:
Ienc
Nesse caso, como o sistema é cilíndrico e simétrico, podemos escolher um caminho circular ao redor do eixo central para simplificar os cálculos.

Passo 3

Vamos calcular o campo magnético a 1,0 mm do eixo central.
Nessa região, $ r = 1,0 $ mm é menor que o raio interno do cilindro ($ a = 2,0 $ mm). Portanto, apenas a corrente do fio fino está dentro do nosso caminho de integração.
A corrente total encerrada ($ I_{enc} $) é apenas a do fio fino:
r = 1,0
Aplicando a Lei de Ampère:
a = 2,0
Substituindo os valores:
Ienc
Ienc = 24,A

Passo 4

Agora, vamos para 3,0 mm do eixo central.
Nessa região, $ r = 3,0 $ mm está entre o raio interno e externo do cilindro ($ 2,0 $ mm < $ r = 3,0 $ mm < $ 4,0 $ mm). Então, além da corrente do fio fino, parte da corrente do cilindro também está dentro do nosso caminho de integração.
Primeiro, vamos calcular a corrente encerrada pelo cilindro até essa distância. Como a corrente no cilindro é distribuída de forma uniforme, a densidade de corrente ($ J $) é:
r = 3,0
A corrente encerrada pelo cilindro até $ r = 3,0 $ mm é:
2,0
Agora, a corrente total encerrada:
r = 3,0 é
Aplicando a Lei de Ampère:
4,0

Passo 5

Por fim, vamos calcular o campo magnético a 5,0 mm do eixo central.
Nessa distância, $ r = 5,0 $ mm é maior que o raio externo do cilindro ($ b = 4,0 $ mm). Portanto, todas as correntes (do fio e do cilindro) estão dentro do nosso caminho de integração.
A corrente total encerrada é:
r = 5,0
Como a corrente total encerrada é zero, pela Lei de Ampère:
b = 4,0

Resposta

(a) A 1,0 mm do eixo central, o campo magnético é 4,8 mT.
(b) A 3,0 mm do eixo central, o campo magnético é 0,933 mT.
© A 5,0 mm do eixo central, o campo magnético é 0 mT.

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