Um cubo de gelo de 8,0 g a -10^circ C é colocado em uma garrafa térmica com 100 cm^3 de água a 20^circ C. (a) Qual é a temperatura de equilíbrio do sistema? (b) De quanto varia a entropia do sistema cubo-água até o equilíbrio ser alcançado? O calor específico do gelo é de 2.220 J / kg K, da água é de 4190 J / kg K e o calor latente de fusão é 333.000 J / kg.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cubo de gelo de 8,0 g a -10 °C colocado em uma garrafa térmica com 100 cm³ de água a 20 °C. O que a gente quer descobrir são duas coisas:
a) A temperatura de equilíbrio do sistema, ou seja, a temperatura que a mistura vai atingir quando estiver tudo equilibrado.
b) A variação da entropia do sistema durante esse processo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calorimetria, que é a parte da física que estuda as trocas de calor entre substâncias. Vamos considerar os seguintes dados:
  • Calor específico do gelo: $ c_{gelo} = 2.220 , J/(kg·K) $
  • Calor específico da água: $ c_{água} = 4190 , J/(kg·K) $
  • Calor latente de fusão do gelo: $ L_f = 333.000 , J/kg $
  • Massa do gelo: $ m_{gelo} = 8,0 , g = 0,008 , kg $
  • Volume da água: $ V_{água} = 100 , cm^3 = 0,1 , L $
    • Considerando que a densidade da água é c>=lo = 2.220 , J/(kg·K) , a massa da água é $ m_{água} = 100 , g = 0,1 , kg $

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando o gelo é colocado na água. O gelo vai absorver calor da água, derreter e depois aquecer até alcançar a temperatura de equilíbrio. Por outro lado, a água vai perder calor ao derreter o gelo e aquecer até essa mesma temperatura final.
Vamos calcular a quantidade de calor que o gelo precisa para:
  1. Aquecer de -10 °C até 0 °C.
  2. Derreter completamente.
  3. Aquecer a água derretida de 0 °C até a temperatura final $ T $.
E a quantidade de calor que a água vai perder ao resfriar de 20 °C até $ T $.

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente.
Para o gelo:
  1. Aquecimento do gelo de -10 °C a 0 °C:
Q1 = m>=lo times c>=lo times De
Q1 = 0,008 , kg times 2.220 , J/(kg·K) times (0 - (-10))
Q1 = 0,008 times 2.220 times 10
Q1 = 0,008 times 22,20
Q1 = 0,1776 , J
  1. Fusão do gelo (derreter):
Q2 = m>=lo times Lf
Q2 = 0,008 , kg times 333.000 , J/kg
Q2 = 2.664 , J
  1. Aquecimento da água derretida de 0 °C até $ T $:
T á
Q3 = m>=lo times cágua times (T - 0)
Q3 = 0,008 , kg times 4190 , J/(kg·K) times T
Para a água:
  1. Resfriamento da água de 20 °C até $ T $:
Q3 = 33,52 times T áá
T
Q4 = mágua times cágua times (20 - T)

Passo 4

Para encontrar a temperatura de equilíbrio, sabemos que o calor perdido pela água será igual ao calor ganho pelo gelo:
Q4 = Q1 + Q2 + Q3
419 times (20 - T) = 0,1776 + 2.664 + 33,52 times T
419 times 20 - 419 times T = 2.8416 + 33,52 times T
8380 - 419T = 2.8416 + 33,52T
Agora, vamos somar os termos com $ T $ e os constantes separadamente:
T
8380 - 2.8416 = 419T + 33,52T
Agora, isolamos $ T $:
8377,1584 = 452,52T
T

Passo 5

Com a temperatura de equilíbrio encontrada, podemos concluir a parte (a). Agora, vamos para a parte (b), que envolve a variação da entropia do sistema.
A entropia ($ \Delta S $) é uma medida da desordem do sistema, e para processos a temperatura constante, ela pode ser calculada como:
De
No nosso caso, temos diferentes etapas, então precisamos calcular a entropia para cada etapa e somar.
Para o gelo:
  1. Aquecimento do gelo:
De
De
De
De
  1. Fusão do gelo:
De
De
De
  1. Aquecimento da água derretida:
Deá
De
De
De
Para a água:
De
De
De
De
De

Resposta

A temperatura de equilíbrio do sistema é aproximadamente 18,5 °C e a variação total da entropia do sistema cubo-água até o equilíbrio é aproximadamente 0,022 J/K.

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