Para conhecer a popularidade de determinado governo foi colhida uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado, onde verificou-se que, de maneira geral, apenas 100 pessoas declararam-se satisfeitas com a administração estadual. Admitindo um nível de significância de 10 %, solucione os itens abaixo.
d) Se o percentual real de descontentes fosse de 50 % e o governo desejasse identificar isto com 95% de probabilidade, a amostra piloto é suficiente? R. Sim, n >= 211

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é que para saber quão popular o governo está, foi feita uma pesquisa com 1000 pessoas. Destas, só 100 disseram estar satisfeitas com a administração. Agora, queremos verificar se, assumindo que realmente 50% das pessoas estão insatisfeitas, a amostra piloto que foi usada (n = 1000) é suficiente para identificar isso com 95% de probabilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de tamanho de amostra para estimar proporções com um certo nível de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos calcular o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar uma proporção com uma certa confiança e margem de erro. A fórmula básica para o tamanho da amostra $ n $ quando estamos lidando com proporções é:
n
Onde:
  • $ Z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da população.
  • $ E $ é a margem de erro aceitável.

Passo 3

Vamos definir cada um dos componentes para o nosso caso:
  • Nível de confiança de 95%: Para 95% de confiança, o valor z é aproximadamente 1,96.
  • Proporção real de descontentes: $ p = 0,50 $ (ou 50%).
  • Margem de erro: Aqui, como queremos identificar se a amostra é suficiente, vamos considerar uma margem de erro razoável. Porém, como a resposta já nos dá que $ n \geq 211 $, podemos trabalhar com essa informação para confirmar.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( 1,96^2 cdot 0,50 cdot (1 - 0,50)E^2 )
Para encontrar a margem de erro que leva a $ n \geq 211 $, rearranjamos a fórmula:
n >= 211
Calculando:
E = raiz 1,96^2 cdot 0,50 cdot 0,50211
Isso significa que com uma amostra de 211 pessoas, podemos estimar a proporção de descontentes com uma margem de erro de aproximadamente 6,75% e 95% de confiança.

Resposta

Sim, uma amostra de pelo menos 211 pessoas é suficiente.

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