Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida médio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.
b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da produção? (R.: 6,15 meses).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma fábrica que produz lâmpadas especiais, e o tempo de vida médio dessas lâmpadas é de 120 meses. Esse comportamento segue uma distribuição exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos em processos que ocorrem de forma contínua e independente.
A pergunta é: Qual deve ser a garantia que o fabricante oferece para que apenas 5% da produção precise ser substituída? Ou seja, queremos encontrar um período de garantia tal que apenas 5% das lâmpadas falhem antes desse tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona a distribuição exponencial. A função de sobrevivência, que nos dá a probabilidade da lâmpada durar mais do que um certo tempo $ t $, é dada por:
t
Onde $ \lambda $ é a taxa de falha. Como o tempo de vida médio $ \mu $ é 120 meses, sabemos que:
S(t) = e^-lambda t

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo de garantia $ t_g $ tal que apenas 5% das lâmpadas falhem antes desse tempo. Isso significa que 95% das lâmpadas devem durar mais do que $ t_g $. Em termos da função de sobrevivência:
tg
Substituindo a expressão da função de sobrevivência:
tg

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar $ t_g $. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
tg
Simplificando o lado esquerdo:
ln(e^-lambda tg) = ln(0.95)
Agora, isolamos $ t_g $:
-lambda tg = ln(0.95)

Passo 5

Sabemos que $ \lambda = \frac{1}{120} $. Substituindo na equação:
lambda = 1120
Vamos calcular o valor de $ \ln(0.95) $:
tg = -ln(0.95)1120 = -120 cdot ln(0.95)
Então:
ln(0.95)

Resposta

A garantia do fabricante deve ser de 6,15 meses para que apenas 5% da produção precise ser substituída.

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