Por sugestão de um empregado está sendo testada uma modificação na bancada de trabalho. A modificação é testada durante diversos dias cronometrando-se o tempo gasto para fabricar uma unidade padrão de produção. A média observada em 120 observações foi de 48,7 segundos e é ligeiramente inferior ao tempo médio gasto anterior à alteração que era de 50,2 segundos e apresentava distribuição normal com desvio padrão de 6 segundos. Utilizando um nível de significância de 1%?
b) Teste a hipótese de que o tempo médio populacional agora é menor. R. Sim, Z=-2,73

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente está testando uma mudança na bancada de trabalho para ver se consegue reduzir o tempo necessário para fabricar uma unidade padrão. Antes da mudança, o tempo médio era de 50,2 segundos com um desvio padrão de 6 segundos, e essa distribuição é normal. Após a mudança, em 120 observações, o tempo médio caiu para 48,7 segundos. Agora, queremos testar, com um nível de significância de 1%, se essa redução é estatisticamente significativa, ou seja, se o tempo médio populacional realmente diminuiu.
Para resolver isso, vamos usar o Teste Z para uma média porque conhecemos o desvio padrão da população e temos uma amostra grande (n=120).

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese Nula (H₀): O tempo médio populacional permanece o mesmo ou aumentou, ou seja, μ ≥ 50,2 segundos.
  • Hipótese Alternativa (H₁): O tempo médio populacional diminuiu, ou seja, μ < 50,2 segundos.
Estamos interessados em saber se há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa.

Passo 3

Em seguida, vamos calcular o valor do teste Z. A fórmula para o teste Z é:
Z = barX - mu0sigmaraizn
Onde:
  • barX é a média da amostra (48,7 segundos).
  • mu0 é a média populacional hipotética (50,2 segundos).
  • sigma é o desvio padrão populacional (6 segundos).
  • n é o tamanho da amostra (120).
Vamos substituir os valores:
Z = 48,7 - 50,26raiz120

Passo 4

Calculando o denominador primeiro:
6raiz120 approx 610,954 approx 0,548
Agora, substituindo na fórmula do Z:
Z = -1,50,548 approx -2,73

Passo 5

Agora, vamos comparar o valor calculado de Z com o valor crítico para um nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste unilateral (queremos saber se a média diminuiu), vamos olhar para o valor crítico de Z correspondente a 1%.
O valor crítico para um teste unilateral com α = 0,01 é aproximadamente -2,33.

Passo 6

Finalmente, comparamos o Z calculado com o valor crítico:
  • Se Z < -2,33, rejeitamos H₀.
  • Aqui, Z ≈ -2,73 < -2,33.
Como -2,73 é menor que -2,33, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, com Z ≈ -2,73, há evidência estatística suficiente para concluir que o tempo médio populacional diminuiu ao nível de significância de 1%.

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