Por sugestão de um empregado está sendo testada uma modificação na bancada de trabalho. A modificação é testada durante diversos dias cronometrando-se o tempo gasto para fabricar uma unidade padrão de produção. A média observada em 120 observações foi de 48,7 segundos e é ligeiramente inferior ao tempo médio gasto anterior à alteração que era de 50,2 segundos e apresentava distribuição normal com desvio padrão de 6 segundos. Utilizando um nível de significância de 1%?
b) Teste a hipótese de que o tempo médio populacional agora é menor. R. Sim, Z=-2,73
b) Teste a hipótese de que o tempo médio populacional agora é menor. R. Sim, Z=-2,73
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente está testando uma mudança na bancada de trabalho para ver se consegue reduzir o tempo necessário para fabricar uma unidade padrão. Antes da mudança, o tempo médio era de 50,2 segundos com um desvio padrão de 6 segundos, e essa distribuição é normal. Após a mudança, em 120 observações, o tempo médio caiu para 48,7 segundos. Agora, queremos testar, com um nível de significância de 1%, se essa redução é estatisticamente significativa, ou seja, se o tempo médio populacional realmente diminuiu.
Para resolver isso, vamos usar o Teste Z para uma média porque conhecemos o desvio padrão da população e temos uma amostra grande (n=120).
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
- Hipótese Nula (H₀): O tempo médio populacional permanece o mesmo ou aumentou, ou seja, μ ≥ 50,2 segundos.
- Hipótese Alternativa (H₁): O tempo médio populacional diminuiu, ou seja, μ < 50,2 segundos.
Estamos interessados em saber se há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula a favor da hipótese alternativa.
Passo 3
Em seguida, vamos calcular o valor do teste Z. A fórmula para o teste Z é:
Onde:
-
é a média da amostra (48,7 segundos). -
é a média populacional hipotética (50,2 segundos). -
é o desvio padrão populacional (6 segundos). -
é o tamanho da amostra (120).
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Calculando o denominador primeiro:
Agora, substituindo na fórmula do Z:
Passo 5
Agora, vamos comparar o valor calculado de Z com o valor crítico para um nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste unilateral (queremos saber se a média diminuiu), vamos olhar para o valor crítico de Z correspondente a 1%.
O valor crítico para um teste unilateral com α = 0,01 é aproximadamente -2,33.
Passo 6
Finalmente, comparamos o Z calculado com o valor crítico:
- Se Z < -2,33, rejeitamos H₀.
- Aqui, Z ≈ -2,73 < -2,33.
Como -2,73 é menor que -2,33, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Sim, com Z ≈ -2,73, há evidência estatística suficiente para concluir que o tempo médio populacional diminuiu ao nível de significância de 1%.