Conhecidas as notas de 50 alunos:
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
determine:
a. a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10;
b. as frequências acumuladas;
c. as frequências relativas;
d. o histograma e o polígono de frequência

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem as notas de 50 alunos e precisamos criar uma distribuição de frequência com algumas características específicas. A matéria aqui é Estatística, mais precisamente Distribuição de Frequência. Para resolver isso, vamos precisar organizar as notas em intervalos, contar quantos alunos estão em cada intervalo, calcular frequências acumuladas e relativas, e por fim, fazer o histograma e o polígono de frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as notas em intervalos de classe começando por 30, com amplitude igual a 10. Isso significa que nossos intervalos serão: 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, e 90-99.

Passo 3

Agora, vamos contar quantas notas caem em cada intervalo:
  • 30-39: 33, 35, 35, 39 → 4 alunos
  • 40-49: 41, 41, 42, 45, 47, 48, 50, 50 → 8 alunos
  • 50-59: 52, 53, 54, 55, 55, 57, 59 → 7 alunos
  • 60-69: 60, 61, 64, 65, 65, 66, 66, 67, 68, 68, 69 → 11 alunos
  • 70-79: 71, 73, 73, 74, 74, 76, 77, 77, 78, 80 → 10 alunos
  • 80-89: 81, 84, 85, 85, 88, 89 → 6 alunos
  • 90-99: 91, 94, 94, 98 → 4 alunos

Passo 4

Vamos montar a distribuição de frequência:
Intervalo Frequência
30-39 4
40-49 8
50-59 7
60-69 11
70-79 10
80-89 6
90-99 4

Passo 5

Agora, vamos calcular as frequências acumuladas. Isso significa somar as frequências de todos os intervalos anteriores até o atual.
Intervalo Frequência Frequência Acumulada
30-39 4 4
40-49 8 4 + 8 = 12
50-59 7 12 + 7 = 19
60-69 11 19 + 11 = 30
70-79 10 30 + 10 = 40
80-89 6 40 + 6 = 46
90-99 4 46 + 4 = 50

Passo 6

Em seguida, vamos calcular as frequências relativas, que representam a proporção de alunos em cada intervalo em relação ao total. A fórmula é:
Frequência Relativa = FrequênciaTotal de Alunos = Frequência50 êêê
Calculando para cada intervalo:
Intervalo Frequência Frequência Relativa
30-39 4 450 = 0,08
40-49 8 850 = 0,16
50-59 7 750 = 0,14
60-69 11 1150 = 0,22
70-79 10 1050 = 0,20
80-89 6 650 = 0,12
90-99 4 450 = 0,08

Passo 7

Por último, vamos falar sobre o histograma e o polígono de frequência.
  • Histograma: É um gráfico que representa a distribuição de frequência. Cada intervalo é representado por uma barra cuja altura corresponde à frequência daquele intervalo.
  • Polígono de Frequência: É uma linha que conecta os pontos médios dos intervalos, facilitando a visualização das tendências na distribuição de frequência.
Como não podemos desenhar aqui, você pode usar ferramentas como Excel ou programas de estatística para criar esses gráficos com os dados que organizamos.

Resposta

a. A distribuição de frequência com intervalos de 10 começando em 30 é:
Intervalo Frequência
30-39 4
40-49 8
50-59 7
60-69 11
70-79 10
80-89 6
90-99 4
b. As frequências acumuladas são:
Intervalo Frequência Acumulada
30-39 4
40-49 12
50-59 19
60-69 30
70-79 40
80-89 46
90-99 50
c. As frequências relativas são:
Intervalo Frequência Relativa
30-39 0,08
40-49 0,16
50-59 0,14
60-69 0,22
70-79 0,20
80-89 0,12
90-99 0,08
d. O histograma e o polígono de frequência representam graficamente a distribuição de frequência, facilitando a visualização da distribuição das notas dos alunos.

Exercícios relacionados

Cite o tipo de curva correspondente a cada distribuição a seguir:
a. Número de mulheres de 15 a 30 anos, em uma dada população, casadas, classificadas segundo o número de vezes que hajam contraido matrimônio.
b. Notas de alunos que cursam a última série do 2^circ grau, em uma dada população.
c. Coeficientes de mortalidade por acidente, por grupo de idade.
d. Tempo de estacionamento de veículos motorizados em uma área de congestionamento.
e. Número de homens capacitados, por grupo de idade, que estão desempregados em uma determinada época.
Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuiçăo abaixo:
NEBUL. 0+0,5+1,5+2,5+3,5+4,5+5,5+6,5+7,5+8,5+9,5-10,0
f. 320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 575
Construa o histograma correspondente.
Considerando que Minas Gerais, em 1992 apresentou (dados fornecidos pelo l3GE:
  • população: 15.957,6 mil habitantes;
  • superficie: 586.624 km^2;
  • nascimentos: 292.036;
  • óbitos: 99.281.
    Calcule:
    a. o índice da densidade demográfica;
    b. a taxa de natalidade;
    c. a taxa de mortalidade.
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L
  1. lim x 2 x^2-4 x+4x^2-x-2
  2. lim x -1 x^2-1x^2+4 x+3
  3. lim x 0 x^2+6 xx^3+7 x^2+5 x
  4. lim x 1 / 2 2 x^2+x-14 x^2-4 x+1
  5. lim x 3 6-2 x+3 x^2-x^3x^4-3 x^3-x+3
  6. lim x -1 x+12 x^4+2 x^3+3 x^2+2 x-1
  7. lim x +infty x^2-6 x+7x^3+7 x-1
  8. lim x -infty 5-5 x^32-2 x^3
  9. lim x +infty 7 x^5-64 x^2-2 x+4
  10. lim x +infty 5-x+x^22-x-2 x^2
  11. lim x +infty e^xx^2
    Respostas:
  1. 0
  2. -1
  3. 6/5
  4. infty
  5. -11 / 26
  6. -1 / 6
  7. 0
  8. 5 / 2
  9. +infty
  10. -1 / 2
  11. + infty

Parte 5: Derivadas sucessivas

Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções
  1. y=k (constante)
  2. y=x
  3. y=x^6
  4. y=x^4-3 x^3+2 x+1
  5. y=2x
  6. y=raiz5 x
  7. y=raiz[3]2 x
  8. y=e^-x
  9. y=ln x
  10. y=3^2 x
  11. y=(x+1)^4
  12. y=x ln x
  13. y=e^-x^2
  14. y=0,4 x^0,1
  15. y=(1-x)^3
  16. y=-12 x^-2
  17. y=e^1x
  18. y=x e^-2 x
  19. y=1-x^3
  20. y=log (-x)
    Mostre que a função y=x^3+9 é solução da equação diferencial y^prime=3 x^2.
    Mostre que a função y=e^-x é solução da equação diferencial y^prime+y=0.
    Mostre que a função y=x^2 é solução da equação x^2 y^prime prime-2 y=0.
    Mostre que a função y=c cdot e^-6 x é solução da equação y^prime+6 y=0, qualquer que seja circ valor real c.
  21. A função y=A x e^x é solução da equação diferencial y^(4)+2 y^prime prime prime-2 y^prime-y=10 e^x. Determine a constante A .
  22. Seja f(x)=e^2 x
    a) Calcule as 4 primeiras derivadas de f(x).
    b) Determine f^(n)(x).
    Respostas: 25) A=5/4
  23. a) f^(n)(x)=2^n e^2 x.

Parte 6: Máximos e mínimos

Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
  1. y=4 x+5
  2. y=10 x+5 com 1 <= x <= 10
  3. y=-5 x+4 com -1
  4. y=3 x+4 com 0
  5. y=x^2+1
  6. y=-x^2+9
  7. y=x^2-3 x+2
  8. y=-x^2+5 x-6
  9. y=x^2-5 x+6 com 0 <= x <= 3
  10. y=x^33-152 x^2+50 x+5
  11. y=x^3-1
  12. y=x^4-x^33+10
  13. y=x^4-10
  14. y=2x^4+1
  15. y=1x^2, x neq 0
  16. y=x1+x^2
  17. y=x^2x-1, x neq 1
  18. y=1x com 0
  19. y=raizx, x >= 0
  20. y=raizx^2+4
  21. y=raizx^2-10 x
  22. y=e^-x
  23. y=e^-2 x, 0 <= x <= 4
  24. Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções aboixo
    a) f(x)=x^2-4 x+5
    b) f(x)=6 x-x^2
    c) f(x)=x^33-72 x^2+6 x+5
    d) f(x)=-x^33+4 x+6
    e) f(x)=x+1x
    f) f(x)=x cdot raizx+2
    Respostas:
  25. Não tem P.M. nem P.m.
  26. x=1 P.m.; x=10 P.M.
  27. x=2 P.m.
  28. Não tem P.m. nem P.M.
  29. x=0 P.m.
  30. x=0 P.M.
  31. x=32 P.m.
  32. x=52 P.M.
  33. x=52 P.M.; x=0 P.M.; x=3 P.M.
  34. x=5 P.M.; x=10 P.m.
  35. Não tem P.M. nem P.m.
  36. x=14 P.m.
  37. x=0 P.m.
  38. x=0 P.M.
  39. Não tem P.M. nem P.m.
  40. x=-1 P.m.; x=1 P.M.
  41. x=2 P.m.; x=0 P.M.
  42. x=4 P.m.
  43. x=0 P.m.
  44. x=0 P.m.
  45. x=0 P.m.; x=10 P.m.
  46. Não tem P.m. nem P.M.
  47. x=0 P.M.; x=4 P.m.
    38)a) ponto de mínimo: x=2
    b) ponto de máximo: x=3
    c) ponto de máximo: x=1 e ponto de mínimo: x=6
    d) ponto de máximo: x=2 e ponto de mínimo: x=-2
    e) ponto de máximo: x=-1 e ponto de mínimo: x=1
    f) ponto de mínimo: x=-4 / 3

Parte 7: Problemas de máximos e mínimos

  1. Deseja-se construir uma piscina retangular com 900 m^2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
  2. Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo.