Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L
  1. lim x 2 x^2-4 x+4x^2-x-2
  2. lim x -1 x^2-1x^2+4 x+3
  3. lim x 0 x^2+6 xx^3+7 x^2+5 x
  4. lim x 1 / 2 2 x^2+x-14 x^2-4 x+1
  5. lim x 3 6-2 x+3 x^2-x^3x^4-3 x^3-x+3
  6. lim x -1 x+12 x^4+2 x^3+3 x^2+2 x-1
  7. lim x +infty x^2-6 x+7x^3+7 x-1
  8. lim x -infty 5-5 x^32-2 x^3
  9. lim x +infty 7 x^5-64 x^2-2 x+4
  10. lim x +infty 5-x+x^22-x-2 x^2
  11. lim x +infty e^xx^2
    Respostas:
  1. 0
  2. -1
  3. 6/5
  4. infty
  5. -11 / 26
  6. -1 / 6
  7. 0
  8. 5 / 2
  9. +infty
  10. -1 / 2
  11. + infty

Parte 5: Derivadas sucessivas

Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções
  1. y=k (constante)
  2. y=x
  3. y=x^6
  4. y=x^4-3 x^3+2 x+1
  5. y=2x
  6. y=raiz5 x
  7. y=raiz[3]2 x
  8. y=e^-x
  9. y=ln x
  10. y=3^2 x
  11. y=(x+1)^4
  12. y=x ln x
  13. y=e^-x^2
  14. y=0,4 x^0,1
  15. y=(1-x)^3
  16. y=-12 x^-2
  17. y=e^1x
  18. y=x e^-2 x
  19. y=1-x^3
  20. y=log (-x)
    Mostre que a função y=x^3+9 é solução da equação diferencial y^prime=3 x^2.
    Mostre que a função y=e^-x é solução da equação diferencial y^prime+y=0.
    Mostre que a função y=x^2 é solução da equação x^2 y^prime prime-2 y=0.
    Mostre que a função y=c cdot e^-6 x é solução da equação y^prime+6 y=0, qualquer que seja circ valor real c.
  21. A função y=A x e^x é solução da equação diferencial y^(4)+2 y^prime prime prime-2 y^prime-y=10 e^x. Determine a constante A .
  22. Seja f(x)=e^2 x
    a) Calcule as 4 primeiras derivadas de f(x).
    b) Determine f^(n)(x).
    Respostas: 25) A=5/4
  23. a) f^(n)(x)=2^n e^2 x.

Parte 6: Máximos e mínimos

Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
  1. y=4 x+5
  2. y=10 x+5 com 1 <= x <= 10
  3. y=-5 x+4 com -1
  4. y=3 x+4 com 0
  5. y=x^2+1
  6. y=-x^2+9
  7. y=x^2-3 x+2
  8. y=-x^2+5 x-6
  9. y=x^2-5 x+6 com 0 <= x <= 3
  10. y=x^33-152 x^2+50 x+5
  11. y=x^3-1
  12. y=x^4-x^33+10
  13. y=x^4-10
  14. y=2x^4+1
  15. y=1x^2, x neq 0
  16. y=x1+x^2
  17. y=x^2x-1, x neq 1
  18. y=1x com 0
  19. y=raizx, x >= 0
  20. y=raizx^2+4
  21. y=raizx^2-10 x
  22. y=e^-x
  23. y=e^-2 x, 0 <= x <= 4
  24. Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo (quando existirem) das funções aboixo
    a) f(x)=x^2-4 x+5
    b) f(x)=6 x-x^2
    c) f(x)=x^33-72 x^2+6 x+5
    d) f(x)=-x^33+4 x+6
    e) f(x)=x+1x
    f) f(x)=x cdot raizx+2
    Respostas:
  25. Não tem P.M. nem P.m.
  26. x=1 P.m.; x=10 P.M.
  27. x=2 P.m.
  28. Não tem P.m. nem P.M.
  29. x=0 P.m.
  30. x=0 P.M.
  31. x=32 P.m.
  32. x=52 P.M.
  33. x=52 P.M.; x=0 P.M.; x=3 P.M.
  34. x=5 P.M.; x=10 P.m.
  35. Não tem P.M. nem P.m.
  36. x=14 P.m.
  37. x=0 P.m.
  38. x=0 P.M.
  39. Não tem P.M. nem P.m.
  40. x=-1 P.m.; x=1 P.M.
  41. x=2 P.m.; x=0 P.M.
  42. x=4 P.m.
  43. x=0 P.m.
  44. x=0 P.m.
  45. x=0 P.m.; x=10 P.m.
  46. Não tem P.m. nem P.M.
  47. x=0 P.M.; x=4 P.m.
    38)a) ponto de mínimo: x=2
    b) ponto de máximo: x=3
    c) ponto de máximo: x=1 e ponto de mínimo: x=6
    d) ponto de máximo: x=2 e ponto de mínimo: x=-2
    e) ponto de máximo: x=-1 e ponto de mínimo: x=1
    f) ponto de mínimo: x=-4 / 3

Parte 7: Problemas de máximos e mínimos

  1. Deseja-se construir uma piscina retangular com 900 m^2 de área. Quais as dimensões para que o perímetro seja mínimo?
  2. Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro limite usando as Regras de L’Hospital! O enunciado pede para encontrar:
lim x 2 x^2-4 x+4x^2-x-2
Aqui, estamos trabalhando com limites em Cálculo, e vamos precisar aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2^2 - 4 cdot 2 + 42^2 - 2 - 2 = 4 - 8 + 44 - 2 - 2 = 00 na expressão para ver se temos uma forma indeterminada:
Como resultou em , podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ( f'(x) = 2x - 4 ):
    g'(x) = 2x - 1
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas no lugar original:
lim x 2 2x - 42x - 1
Vamos calcular esse limite substituindo 2 cdot 2 - 42 cdot 2 - 1 = 4 - 44 - 1 = 03 = 0 :

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Considerando que Minas Gerais, em 1992 apresentou (dados fornecidos pelo l3GE:
  • população: 15.957,6 mil habitantes;
  • superficie: 586.624 km^2;
  • nascimentos: 292.036;
  • óbitos: 99.281.
    Calcule:
    a. o índice da densidade demográfica;
    b. a taxa de natalidade;
    c. a taxa de mortalidade.
Conhecidas as notas de 50 alunos:
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
determine:
a. a distribuição de frequência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10;
b. as frequências acumuladas;
c. as frequências relativas;
d. o histograma e o polígono de frequência
Complete a distribuiçào abaixo, determinando as frequências simples:
i Xi fi Fi
1 2 ldots 2
2 3 ldots 9
3 4 ldots 21
4 5 ldots 29
5 6 ldots 34
Sigma=34
Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de frequência, tendo
30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.