O conjunto dos pontos P=(x, y), que estão a uma mesma distância do ponto F=(0,4) e do eixo x é:
(a) a parábola de equação y=x^28+2
(b) a parábola de equação x=y^28+2
© a parábola de equação y=8 x^2+2
(d) a parábola de equação x=8 y^2+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o conjunto de pontos que estão à mesma distância do ponto e do eixo . Isso está relacionado ao estudo das parábolas, que são curvas formadas por pontos equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma linha fixa (diretriz). Para resolver, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e a fórmula para calcular a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos. A distância d = raiz(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = raizx^2 + (y - 4)^2 entre e é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de d = |y| até o eixo . O eixo é a reta onde . A distância de um ponto até a reta é simplesmente o valor absoluto das coordenadas :

Passo 4

Segundo o enunciado, essas duas distâncias são iguais. Então, podemos igualar as duas expressões:
raizx^2 + (y - 4)^2 = |y|

Passo 5

Vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y - 4)^2 = y^2

Passo 6

Agora, vamos expandir x^2 + y^2 - 8y + 16 = y^2 :

Passo 7

Subtraindo x^2 - 8y + 16 = 0 de ambos os lados para simplificar a equação:

Passo 8

Vamos isolar -8y = -x^2 - 16 na equação:
y = x^28 + 2

Resposta

A equação que representa o conjunto de pontos é . Portanto, a alternativa correta é a (a).

Exercícios relacionados