Escreva a equação reduzida da parábola com vértice na origem nos seguintes casos: Diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A questão pede para a gente encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice na origem e a diretriz na reta
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como relacionar o vértice e a diretriz para encontrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o vértice está na origem
e a diretriz é a reta
.
Passo 3
Como o vértice está na origem e a diretriz está acima do vértice (no eixo y positivo), sabemos que a parábola está voltada para baixo. A fórmula padrão de uma parábola com vértice na origem que abre para cima ou para baixo é:
Aqui,
é a distância do vértice ao foco. Se
for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.
Passo 4
Sabemos que a diretriz está a uma distância
do vértice, mas do lado oposto do foco. Como a diretriz está em
e o vértice está na origem, temos que:
Isso porque o foco estará a
unidades abaixo da origem, já que a parábola abre para baixo.
Passo 5
Substituindo o valor de
na equação padrão, temos:
Essa é a equação reduzida da parábola com vértice na origem e diretriz em
.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
.