Escreva a equação reduzida da parábola com vértice na origem nos seguintes casos: Diretriz y=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A questão pede para a gente encontrar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice na origem e a diretriz na reta . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como relacionar o vértice e a diretriz para encontrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. No nosso caso, o vértice está na origem e a diretriz é a reta .

Passo 3

Como o vértice está na origem e a diretriz está acima do vértice (no eixo y positivo), sabemos que a parábola está voltada para baixo. A fórmula padrão de uma parábola com vértice na origem que abre para cima ou para baixo é:
x^2 = 4p y
Aqui, é a distância do vértice ao foco. Se for positivo, a parábola abre para cima; se for negativo, abre para baixo.

Passo 4

Sabemos que a diretriz está a uma distância p = -4 do vértice, mas do lado oposto do foco. Como a diretriz está em e o vértice está na origem, temos que:
Isso porque o foco estará a unidades abaixo da origem, já que a parábola abre para baixo.

Passo 5

Substituindo o valor de x^2 = 4(-4) y na equação padrão, temos:
x^2 = -16 y
Essa é a equação reduzida da parábola com vértice na origem e diretriz em .

Resposta

A equação reduzida da parábola é .

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