Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(a)
.
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pergunta quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. A gente vai focar na parte (a), onde o conjunto
é definido como todos os polinômios
em
que satisfazem
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
- Conter o vetor zero: O vetor zero do espaço original deve estar dentro do subespaço.
- Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer no subespaço e somar, o resultado também deve estar no subespaço.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Conter o vetor zero:
No contexto dos polinômios, o vetor zero é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja, . Vamos verificar se
:
No contexto dos polinômios, o vetor zero é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja,
Então, o polinômio zero está em
. Essa condição está satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em , digamos
e
, onde
e
. Precisamos ver se
também está em
.
Calculando :
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
Calculando
Então, a soma de dois polinômios em
também está em
. Essa condição também está satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em , digamos
com
, e um escalar
. Precisamos verificar se
está em
.
Calculando :
Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em
Calculando
Portanto, a multiplicação de um polinômio em
por um escalar também está em
. Essa última condição está satisfeita.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.