Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de P2 ? Justifique.
(a) W=p(t) in P2 mid p(0)=0.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pergunta quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de P2, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. A gente vai focar na parte (a), onde o conjunto W é definido como todos os polinômios p(t) em P2 que satisfazem p(0) = 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se W atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial precisa cumprir três condições básicas:
  1. Conter o vetor zero: O vetor zero do espaço original deve estar dentro do subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores qualquer no subespaço e somar, o resultado também deve estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no subespaço e multiplicar por qualquer número (escalar), o resultado também deve estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W.

Passo 3

1. Conter o vetor zero:
No contexto dos polinômios, o vetor zero é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja, p(t) = 0. Vamos verificar se p(0) = 0:
p(0) = 0
Então, o polinômio zero está em W. Essa condição está satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em W, digamos p(t) e q(t), onde p(0) = 0 e q(0) = 0. Precisamos ver se p(t) + q(t) também está em W.
Calculando (p + q)(0):
(p + q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0
Então, a soma de dois polinômios em W também está em W. Essa condição também está satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em W, digamos p(t) com p(0) = 0, e um escalar c. Precisamos verificar se c cdot p(t) está em W.
Calculando (c cdot p)(0):
(c cdot p)(0) = c cdot p(0) = c cdot 0 = 0
Portanto, a multiplicação de um polinômio em W por um escalar também está em W. Essa última condição está satisfeita.

Resposta

Como o conjunto W = p(t) in P2 mid p(0)=0 satisfaz todas as três condições de um subespaço vetorial, podemos concluir que W é um subespaço vetorial de P2.

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