Considera-se que a porcentagem de impurezas (y) no gás de oxigênio produzido por um processo de destilação esteja relacionada com a porcentagem de hidrocarboneto (x) no condensador principal do processador. Estão disponíveis dados de um mês de operação, conforme mostra a tabela.
Impureza (%) 86,91 89,85 90,28 86,34 92,58 87,33 86,29 91,86 95,61 89,86
Hidrocarboneto (%) 1,02 1,11 1,43 1,11 1,01 0,95 1,11 0,87 1,43 1,02
Impureza (%) 96,73 99,42 98,66 96,07 93,65 87,31 95,00 96,85 85,20 90,56
:— :— :— :— :— :— :— :— :— :— :—
Hidrocarboneto (%) 1,46 1,55 1,55 1,55 1,40 1,15 1,01 0,99 0,95 0,98
  1. Um estudo foi conduzido pelo Instituto Politécnico e pela Universidade Estadual de Campinas para determinar se certa medida estática da força do braço tem influência nas características da
Indivíduo Força braçal, (x) Levantamento dinâmico (y)
1 17,3 71,7
2 19,3 48,3
3 19,5 88,3
4 19,7 75,0
5 22,9 91,7
6 23,1 100,0
7 26,4 73,3
8 26,8 65,0
9 27,6 75,0
10 28,1 88,3
11 28,2 68,3
12 28,7 96,7
13 29,0 76,7
14 29,6 78,3
15 29,9 60,0
16 29,9 71,7
17 30,3 85,0
18 31,3 85,0
19 36,0 88,3
20 39,5 100,0
21 40,4 100,0
22 44,3 100,0
23 44,6 91,7
24 50,4 100,0
25 55,9 71,7
a) Estime a reta de regressão linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimar a reta de regressão linear que relaciona a força braçal (x) com o levantamento dinâmico (y) de indivíduos. Para isso, vamos usar conceitos de estatística, especificamente a regressão linear simples. Vamos precisar calcular a média de x e y, além de somatórios como xy e x^2. No final, teremos uma equação na forma y = a + b,x.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos em duas listas: uma para x (força braçal) e outra para y (levantamento dinâmico).
Indivíduo Força braçal, (x) Levantamento dinâmico, (y)
1 17,3 71,7
2 19,3 48,3
3 19,5 88,3
4 19,7 75,0
5 22,9 91,7
6 23,1 100,0
7 26,4 73,3
8 26,8 65,0
9 27,6 75,0
10 28,1 88,3
11 28,2 68,3
12 28,7 96,7
13 29,0 76,7
14 29,6 78,3
15 29,9 60,0
16 29,9 71,7
17 30,3 85,0
18 31,3 85,0
19 36,0 88,3
20 39,5 100,0
21 40,4 100,0
22 44,3 100,0
23 44,6 91,7
24 50,4 100,0
25 55,9 71,7
Vamos calcular os seguintes valores:
  • Soma de x, sum x
  • Soma de y, sum y
  • Soma de x cdot y, sum xy
  • Soma de x^2, sum x^2

Passo 3

Calculando a soma de x:
sum x = 17,3 + 19,3 + 19,5 + 19,7 + 22,9 + 23,1 + 26,4 + 26,8 + 27,6 + 28,1 + 28,2 + 28,7 + 29,0 + 29,6 + 29,9 + 29,9 + 30,3 + 31,3 + 36,0 + 39,5 + 40,4 + 44,3 + 44,6 + 50,4 + 55,9
Vamos somar passo a passo:
sum x = 17,3 + 19,3 = 36,6 36,6 + 19,5 = 56,1 56,1 + 19,7 = 75,8 75,8 + 22,9 = 98,7 98,7 + 23,1 = 121,8 121,8 + 26,4 = 148,2 148,2 + 26,8 = 175,0 175,0 + 27,6 = 202,6 202,6 + 28,1 = 230,7 230,7 + 28,2 = 258,9 258,9 + 28,7 = 287,6 287,6 + 29,0 = 316,6 316,6 + 29,6 = 346,2 346,2 + 29,9 = 376,1 376,1 + 29,9 = 406,0 406,0 + 30,3 = 436,3 436,3 + 31,3 = 467,6 467,6 + 36,0 = 503,6 503,6 + 39,5 = 543,1 543,1 + 40,4 = 583,5 583,5 + 44,3 = 627,8 627,8 + 44,6 = 672,4 672,4 + 50,4 = 722,8 722,8 + 55,9 = 778,7
Então,
sum x = 778,7

Passo 4

Agora, calculando a soma de y:
sum y = 71,7 + 48,3 + 88,3 + 75,0 + 91,7 + 100,0 + 73,3 + 65,0 + 75,0 + 88,3 + 68,3 + 96,7 + 76,7 + 78,3 + 60,0 + 71,7 + 85,0 + 85,0 + 88,3 + 100,0 + 100,0 + 100,0 + 91,7 + 100,0 + 71,7
Somando passo a passo:
sum y = 71,7 + 48,3 = 120,0 120,0 + 88,3 = 208,3 208,3 + 75,0 = 283,3 283,3 + 91,7 = 375,0 375,0 + 100,0 = 475,0 475,0 + 73,3 = 548,3 548,3 + 65,0 = 613,3 613,3 + 75,0 = 688,3 688,3 + 88,3 = 776,6 776,6 + 68,3 = 844,9 844,9 + 96,7 = 941,6 941,6 + 76,7 = 1018,3 1018,3 + 78,3 = 1096,6 1096,6 + 60,0 = 1156,6 1156,6 + 71,7 = 1228,3 1228,3 + 85,0 = 1313,3 1313,3 + 85,0 = 1398,3 1398,3 + 88,3 = 1486,6 1486,6 + 100,0 = 1586,6 1586,6 + 100,0 = 1686,6 1686,6 + 100,0 = 1786,6 1786,6 + 91,7 = 1878,3 1878,3 + 100,0 = 1978,3 1978,3 + 71,7 = 2050,0
Então,
sum y = 2050,0

Passo 5

Vamos calcular agora a soma de x cdot y, ou seja, o produto de cada par de valores:
sum xy = (17,3 times 71,7) + (19,3 times 48,3) + dots + (55,9 times 71,7)
Calculando cada produto:
17,3 times 71,7 = 1.239,41 19,3 times 48,3 = 930,39 19,5 times 88,3 = 1.722,85 19,7 times 75,0 = 1.477,5 22,9 times 91,7 = 2.095,93 23,1 times 100,0 = 2.310,0 26,4 times 73,3 = 1.935,12 26,8 times 65,0 = 1.742,0 27,6 times 75,0 = 2.070,0 28,1 times 88,3 = 2.479,23 28,2 times 68,3 = 1.928,26 28,7 times 96,7 = 2.768,29 29,0 times 76,7 = 2.223,0 29,6 times 78,3 = 2.318,68 29,9 times 60,0 = 1.794,0 29,9 times 71,7 = 2.146,83 30,3 times 85,0 = 2.575,5 31,3 times 85,0 = 2.660,5 36,0 times 88,3 = 3.178,8 39,5 times 100,0 = 3.950,0 40,4 times 100,0 = 4.040,0 44,3 times 100,0 = 4.430,0 44,6 times 91,7 = 4.092,82 50,4 times 100,0 = 5.040,0 55,9 times 71,7 = 4.013,23
Somando todos esses valores:
sum xy = 1.239,41 + 930,39 + 1.722,85 + 1.477,5 + 2.095,93 + 2.310,0 + 1.935,12 + 1.742,0 + 2.070,0 + 2.479,23 + 1.928,26 + 2.768,29 + 2.223,0 + 2.318,68 + 1.794,0 + 2.146,83 + 2.575,5 + 2.660,5 + 3.178,8 + 3.950,0 + 4.040,0 + 4.430,0 + 4.092,82 + 5.040,0 + 4.013,23
Vamos somar passo a passo:
1.239,41 + 930,39 = 2.169,80 2.169,80 + 1.722,85 = 3.892,65 3.892,65 + 1.477,5 = 5.370,15 5.370,15 + 2.095,93 = 7.466,08 7.466,08 + 2.310,0 = 9.776,08 9.776,08 + 1.935,12 = 11.711,20 11.711,20 + 1.742,0 = 13.453,20 13.453,20 + 2.070,0 = 15.523,20 15.523,20 + 2.479,23 = 18.002,43 18.002,43 + 1.928,26 = 19.930,69 19.930,69 + 2.768,29 = 22.698,98 22.698,98 + 2.223,0 = 24.921,98 24.921,98 + 2.318,68 = 27.240,66 27.240,66 + 1.794,0 = 29.034,66 29.034,66 + 2.146,83 = 31.181,49 31.181,49 + 2.575,5 = 33.757,00 33.757,00 + 2.660,5 = 36.417,50 36.417,50 + 3.178,8 = 39.596,30 39.596,30 + 3.950,0 = 43.546,30 43.546,30 + 4.040,0 = 47.586,30 47.586,30 + 4.430,0 = 52.016,30 52.016,30 + 4.092,82 = 56.109,12 56.109,12 + 5.040,0 = 61.149,12 61.149,12 + 4.013,23 = 65.162,35
Então,
sum xy = 65.162,35

Passo 6

Agora, vamos calcular a soma de x^2:
sum x^2 = (17,3)^2 + (19,3)^2 + dots + (55,9)^2
Calculando cada quadrado:
17,3^2 = 299,29 19,3^2 = 372,49 19,5^2 = 380,25 19,7^2 = 388,09 22,9^2 = 524,41 23,1^2 = 533,61 26,4^2 = 696,96 26,8^2 = 718,24 27,6^2 = 761,76 28,1^2 = 789,61 28,2^2 = 795,24 28,7^2 = 823,69 29,0^2 = 841,00 29,6^2 = 876,16 29,9^2 = 894,01 29,9^2 = 894,01 30,3^2 = 918,09 31,3^2 = 980,69 36,0^2 = 1.296,00 39,5^2 = 1.560,25 40,4^2 = 1.632,16 44,3^2 = 1.958,49 44,6^2 = 1.990,76 50,4^2 = 2.540,16 55,9^2 = 3.124,81
Somando todos esses valores:
sum x^2 = 299,29 + 372,49 + 380,25 + 388,09 + 524,41 + 533,61 + 696,96 + 718,24 + 761,76 + 789,61 + 795,24 + 823,69 + 841,00 + 876,16 + 894,01 + 894,01 + 918,09 + 980,69 + 1.296,00 + 1.560,25 + 1.632,16 + 1.958,49 + 1.990,76 + 2.540,16 + 3.124,81
Vamos somar passo a passo:
299,29 + 372,49 = 671,78 671,78 + 380,25 = 1.052,03 1.052,03 + 388,09 = 1.440,12 1.440,12 + 524,41 = 1.964,53 1.964,53 + 533,61 = 2.498,14 2.498,14 + 696,96 = 3.195,10 3.195,10 + 718,24 = 3.913,34 3.913,34 + 761,76 = 4.675,10 4.675,10 + 789,61 = 5.464,71 5.464,71 + 795,24 = 6.259,95 6.259,95 + 823,69 = 7.083,64 7.083,64 + 841,00 = 7.924,64 7.924,64 + 876,16 = 8.800,80 8.800,80 + 894,01 = 9.694,81 9.694,81 + 894,01 = 10.588,82 10.588,82 + 918,09 = 11.506,91 11.506,91 + 980,69 = 12.487,60 12.487,60 + 1.296,00 = 13.783,60 13.783,60 + 1.560,25 = 15.343,85 15.343,85 + 1.632,16 = 16.976,01 16.976,01 + 1.958,49 = 18.934,50 18.934,50 + 1.990,76 = 20.925,26 20.925,26 + 2.540,16 = 23.465,42 23.465,42 + 3.124,81 = 26.590,23
Então,
sum x^2 = 26.590,23

Passo 7

Agora que temos todos os somatórios necessários, vamos calcular as médias de x e y.
O número de observações, n, é 25.
barx = sum xn = 778,725 = 31,148
bary = sum yn = 2050,025 = 82,0

Passo 8

Vamos agora calcular o coeficiente angular b da reta de regressão, que é dado por:
b = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2
Substituindo os valores:
b = 25 times 65.162,35 - 778,7 times 2050,025 times 26.590,23 - (778,7)^2
Calculando o numerador:
25 times 65.162,35 = 1.629.058,75 778,7 times 2050,0 = 1.595.735,0 Numerador = 1.629.058,75 - 1.595.735,0 = 33.323,75
Calculando o denominador:
25 times 26.590,23 = 664.755,75 (778,7)^2 = 606.103,69 Denominador = 664.755,75 - 606.103,69 = 58.652,06
Então,
b = 33.323,7558.652,06 approx 0,5676

Passo 9

Agora, vamos calcular o coeficiente linear a da reta de regressão, usando a fórmula:
a = bary - b,barx
Substituindo os valores:
a = 82,0 - 0,5676 times 31,148
Calculando:
0,5676 times 31,148 approx 17,675
a = 82,0 - 17,675 approx 64,325

Passo 10

Com os valores de a e b calculados, podemos escrever a equação da reta de regressão linear:
y = a + b,x
Substituindo:
y = 64,325 + 0,5676,x

Resposta

A reta de regressão linear estimada é:
y = 64,325 + 0,5676,x

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