A empresa Pulsar Corporation vende um grande esterilizador com quatro prateleiras extensíveis para instrumentos médicos. Os engenheiros da companhia acreditam que o tempo para se atingir a temperatura de operação, a partir de um início frio ( y, medido em minutos), seja linearmente relacionado à espessura isolante ( x, em polegadas). Selecionou-se uma amostra aleatória de n=12 espessuras, e registrou-se o tempo para se alcançar a temperatura de operação para cada uma. Os dados são os seguintes:
x 1,3 1,8 0,9 1,6 2,6 1,5 2,1 3,0 0,8 2,4 2,5 2,6
y 8,0 6,9 8,1 7,0 6,3 6,5 6,4 5,8 8,3 8,3 6,6 6,6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício da Pulsar Corporation que quer entender como a espessura isolante ( x) influencia o tempo ( y) para atingir a temperatura de operação de um esterilizador. Eles acreditam que essa relação é linear. Então, vamos precisar usar a regressão linear, que é uma técnica estatística para encontrar a melhor reta que relaciona duas variáveis. Vamos precisar calcular algumas médias, somas e usar fórmulas básicas de álgebra para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. Temos 12 pares de valores de x e y:
|c|cccccccccccc| hline x & 1,3 & 1,8 & 0,9 & 1,6 & 2,6 & 1,5 & 2,1 & 3,0 & 0,8 & 2,4 & 2,5 & 2,6 hline y & 8,0 & 6,9 & 8,1 & 7,0 & 6,3 & 6,5 & 6,4 & 5,8 & 8,3 & 8,3 & 6,6 & 6,6 hline
Vamos precisar calcular a média de x e a média de y. A média é só somar todos os valores e dividir pelo número de observações.

Passo 3

Calculando a média de x:
barx = 1,3 + 1,8 + 0,9 + 1,6 + 2,6 + 1,5 + 2,1 + 3,0 + 0,8 + 2,4 + 2,5 + 2,612
barx = 21,112 approx 1,758 po<=gadas
Agora, a média de y:
bary = 8,0 + 6,9 + 8,1 + 7,0 + 6,3 + 6,5 + 6,4 + 5,8 + 8,3 + 8,3 + 6,6 + 6,612
bary = 80,412 approx 6,7 minutos

Passo 4

Agora que temos as médias, vamos calcular a covariância entre x e y e a variância de x. Esses valores são importantes para encontrar os coeficientes da reta de regressão.
A fórmula para a covariância é:
Sxy = sum (xi - barx)(yi - bary)
E para a variância de x:
Sxx = sum (xi - barx)^2
Vamos calcular cada uma dessas somas passo a passo.

Passo 5

Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos:
|c|c|c|c|c| hline xi & yi & xi - barx & yi - bary & (xi - barx)(yi - bary) & (xi - barx)^2 hline 1,3 & 8,0 & 1,3 - 1,758 = -0,458 & 8,0 - 6,7 = 1,3 & (-0,458)(1,3) = -0,595 & (-0,458)^2 = 0,209 1,8 & 6,9 & 1,8 - 1,758 = 0,042 & 6,9 - 6,7 = 0,2 & (0,042)(0,2) = 0,0084 & (0,042)^2 = 0,0018 0,9 & 8,1 & 0,9 - 1,758 = -0,858 & 8,1 - 6,7 = 1,4 & (-0,858)(1,4) = -1,201 & (-0,858)^2 = 0,736 1,6 & 7,0 & 1,6 - 1,758 = -0,158 & 7,0 - 6,7 = 0,3 & (-0,158)(0,3) = -0,0474 & (-0,158)^2 = 0,025 2,6 & 6,3 & 2,6 - 1,758 = 0,842 & 6,3 - 6,7 = -0,4 & (0,842)(-0,4) = -0,337 & (0,842)^2 = 0,709 1,5 & 6,5 & 1,5 - 1,758 = -0,258 & 6,5 - 6,7 = -0,2 & (-0,258)(-0,2) = 0,0516 & (-0,258)^2 = 0,066 2,1 & 6,4 & 2,1 - 1,758 = 0,342 & 6,4 - 6,7 = -0,3 & (0,342)(-0,3) = -0,1026 & (0,342)^2 = 0,117 3,0 & 5,8 & 3,0 - 1,758 = 1,242 & 5,8 - 6,7 = -0,9 & (1,242)(-0,9) = -1,1178 & (1,242)^2 = 1,543 0,8 & 8,3 & 0,8 - 1,758 = -0,958 & 8,3 - 6,7 = 1,6 & (-0,958)(1,6) = -1,533 & (-0,958)^2 = 0,918 2,4 & 8,3 & 2,4 - 1,758 = 0,642 & 8,3 - 6,7 = 1,6 & (0,642)(1,6) = 1,0272 & (0,642)^2 = 0,412 2,5 & 6,6 & 2,5 - 1,758 = 0,742 & 6,6 - 6,7 = -0,1 & (0,742)(-0,1) = -0,0742 & (0,742)^2 = 0,550 2,6 & 6,6 & 2,6 - 1,758 = 0,842 & 6,6 - 6,7 = -0,1 & (0,842)(-0,1) = -0,0842 & (0,842)^2 = 0,709 hline
Agora, vamos somar as colunas de (xi - barx)(yi - bary) e (xi - barx)^2.

Passo 6

Somando os valores:
sum (xi - barx)(yi - bary) = -0,595 + 0,0084 - 1,201 - 0,0474 - 0,337 + 0,0516 - 0,1026 - 1,1178 - 1,533 + 1,0272 - 0,0742 - 0,0842 approx -4,947
sum (xi - barx)^2 = 0,209 + 0,0018 + 0,736 + 0,025 + 0,709 + 0,066 + 0,117 + 1,543 + 0,918 + 0,412 + 0,550 + 0,709 approx 5,224

Passo 7

Agora, usamos as somas para encontrar os coeficientes b (inclinação) e a (intercepto) da reta de regressão.
A fórmula para b é:
b = SxySxx = -4,9475,224 approx -0,947
E para a:
a = bary - b barx = 6,7 - (-0,947)(1,758) approx 6,7 + 1,664 approx 8,364

Resposta

A equação da reta de regressão que relaciona a espessura isolante ( x) ao tempo para atingir a temperatura de operação ( y) é:
y = 8,364 - 0,947,x

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