O número de horas que 13 alunos passam estudando para um teste e suas notas são mostrados na tabela. Há evidência suficiente para concluir que há uma correlação linear significativa entre os dados? Use
.
Horas gastas estudando (x) | 0 | 1 | 2 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nota do teste (y) | 40 | 41 | 51 | 48 | 64 | 69 | 73 | 75 | 68 | 93 | 84 | 90 | 95 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra quantas horas 13 alunos estudaram para um teste e as notas que eles tiraram. A pergunta é: será que tem uma relação linear significativa entre as horas de estudo e as notas? Vamos usar um nível de significância de
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre correlação linear, calcular o coeficiente de correlação de Pearson e fazer um teste de hipótese para ver se essa correlação é estatisticamente significativa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson, que nos mostra o quanto duas variáveis estão relacionadas de forma linear. A fórmula é:
Onde:
-
é o número de observações. -
é a soma dos produtos de e . -
, são as somas das horas estudadas e das notas, respectivamente. -
, são as somas dos quadrados das horas estudadas e das notas.
Vamos calcular cada parte:
x | y | xy | x² | y² |
---|---|---|---|---|
0 | 40 | 0 | 0 | 1600 |
1 | 41 | 41 | 1 | 1681 |
2 | 51 | 102 | 4 | 2601 |
4 | 48 | 192 | 16 | 2304 |
4 | 64 | 256 | 16 | 4096 |
5 | 69 | 345 | 25 | 4761 |
5 | 73 | 365 | 25 | 5329 |
5 | 75 | 375 | 25 | 5625 |
6 | 68 | 408 | 36 | 4624 |
6 | 93 | 558 | 36 | 8649 |
7 | 84 | 588 | 49 | 7056 |
7 | 90 | 630 | 49 | 8100 |
8 | 95 | 760 | 64 | 9025 |
Total | 4138 | 294 | 62670 |
Passo 3
Agora, vamos substituir na fórmula:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Primeiro parte:
Segunda parte:
Então,
Finalmente,
Ops! Parece que fizemos algo errado, porque o coeficiente de correlação deve estar entre -1 e 1. Vamos verificar os cálculos…
Passo 4
Revisando os cálculos:
Total de
Total de
Total de
Total de
Total de
Recalculando o numerador corretamente:
Denominador:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então,
Agora,
Passo 5
Agora que temos o coeficiente de correlação
, vamos verificar se isso é significativo. Para isso, usamos o teste t para correlação:
Onde
.
Calculando:
Agora, consultamos a tabela t com
graus de liberdade e nível de significância
. O valor crítico da t para
e
(teste bilateral) é aproximadamente
.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de
com o valor crítico
.
Como
, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não há evidência suficiente para concluir que existe uma correlação linear significativa entre as horas estudadas e as notas no teste ao nível de significância de
.