O número de horas que 13 alunos passam estudando para um teste e suas notas são mostrados na tabela. Há evidência suficiente para concluir que há uma correlação linear significativa entre os dados? Use alpha=0,01.
Horas gastas estudando (x) 0 1 2 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8
Nota do teste (y) 40 41 51 48 64 69 73 75 68 93 84 90 95

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra quantas horas 13 alunos estudaram para um teste e as notas que eles tiraram. A pergunta é: será que tem uma relação linear significativa entre as horas de estudo e as notas? Vamos usar um nível de significância de alpha = 0,01. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre correlação linear, calcular o coeficiente de correlação de Pearson e fazer um teste de hipótese para ver se essa correlação é estatisticamente significativa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson, que nos mostra o quanto duas variáveis estão relacionadas de forma linear. A fórmula é:
r = n(sum xy) - (sum x)(sum y)raiz[nsum x^2 - (sum x)^2][nsum y^2 - (sum y)^2]
Onde:
  • n é o número de observações.
  • sum xy é a soma dos produtos de x e y.
  • sum x, sum y são as somas das horas estudadas e das notas, respectivamente.
  • sum x^2, sum y^2 são as somas dos quadrados das horas estudadas e das notas.
Vamos calcular cada parte:
x y xy
0 40 0 0 1600
1 41 41 1 1681
2 51 102 4 2601
4 48 192 16 2304
4 64 256 16 4096
5 69 345 25 4761
5 73 365 25 5329
5 75 375 25 5625
6 68 408 36 4624
6 93 558 36 8649
7 84 588 49 7056
7 90 630 49 8100
8 95 760 64 9025
Total 4138 294 62670

Passo 3

Agora, vamos substituir na fórmula:
r = 13(4138) - (60)(880)raiz[13(294) - (60)^2][13(62670) - (880)^2]
Calculando o numerador:
13 times 4138 = 536, 94
60 times 880 = 52,800
53694 - 52800 = 894
Calculando o denominador:
Primeiro parte:
13 times 294 = 4, 822
60^2 = 3,600
4,822 - 3,600 = 1,222
Segunda parte:
13 times 62670 = 815,710
880^2 = 774,400
815,710 - 774,400 = 41,310
Então,
raiz1,222 times 41,310 = raiz50,499.82 approx 224.64
Finalmente,
r = 894224.64 approx 3.98
Ops! Parece que fizemos algo errado, porque o coeficiente de correlação deve estar entre -1 e 1. Vamos verificar os cálculos…

Passo 4

Revisando os cálculos:
Total de sum x = 60
Total de sum y = 880
Total de sum xy = 4138
Total de sum x^2 = 294
Total de sum y^2 = 62670
Recalculando o numerador corretamente:
r = 13 times 4138 - 60 times 880raiz(13 times 294 - 60^2)(13 times 62670 - 880^2)
13 times 4138 = 53,794
60 times 880 = 52,800
53,794 - 52,800 = 994
Denominador:
Primeira parte:
13 times 294 = 3,822
60^2 = 3,600
3,822 - 3,600 = 222
Segunda parte:
13 times 62670 = 815,710
880^2 = 774,400
815,710 - 774,400 = 41,310
Então,
raiz222 times 41,310 = raiz9,185,820 approx 3,032.42
Agora,
r = 9943032.42 approx 0.327

Passo 5

Agora que temos o coeficiente de correlação r approx 0,327, vamos verificar se isso é significativo. Para isso, usamos o teste t para correlação:
t = r raizn - 2raiz1 - r^2
Onde n = 13.
Calculando:
t = 0,327 raiz11raiz1 - 0,327^2 approx 0,327 times 3,317raiz1 - 0,1069 approx 1,085raiz0,8931 approx 1,0850,945 approx 1,148
Agora, consultamos a tabela t com df = n - 2 = 11 graus de liberdade e nível de significância alpha = 0,01. O valor crítico da t para df=11 e alpha=0,01 (teste bilateral) é aproximadamente 3,106.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t approx 1,148 com o valor crítico tcrítico approx 3,106í.
Como 1,148 < 3,106, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que existe uma correlação linear significativa entre as horas estudadas e as notas no teste ao nível de significância de 0,01.

Exercícios relacionados