Consideramos as operações
e
em
definidas por:
Mostre que
é um anel comutativo com elemento unidade.
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Passo 1
Beleza, vamos lidar com esse exercício que pede pra gente mostrar que o conjunto dos números racionais,
, junto com as operações
e
definidas por
e
, forma um anel comutativo com elemento unidade. Um anel é uma estrutura algébrica que tem duas operações (nesse caso,
e
) e precisa seguir algumas regras específicas. Vamos precisar verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um anel comutativo e identificar qual é o elemento unidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo. Um anel comutativo é um conjunto equipado com duas operações (geralmente chamadas de adição e multiplicação) que satisfazem certas propriedades: a adição deve formar um grupo abeliano, a multiplicação deve ser comutativa e associativa, a multiplicação deve distribuir sobre a adição, e deve existir um elemento unidade para a multiplicação.
Passo 3
Vamos começar verificando se
forma um grupo abeliano. Para isso, precisamos checar se a operação
é associativa, se existe um elemento neutro e se todo elemento tem um inverso.
Passo 4
Associatividade de
: Precisamos ver se
para todos
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a operação
é associativa.
Passo 5
Elemento neutro de
: Precisamos encontrar um número
tal que
para todo
.
Usando a definição de
:
Resolvendo para
:
Então, o elemento neutro é 3.
Passo 6
Inverso de
: Para cada
, precisamos de um elemento
tal que
(o elemento neutro).
Usando a definição de
:
Portanto, o inverso de
em relação a
é
.
Passo 7
Até agora, mostramos que
é um grupo abeliano. Agora, vamos verificar se a operação
é comutativa e associativa, e se distribui sobre
.
Comutatividade de
:
Precisamos ver se .
Precisamos ver se
Então,
é comutativa.
Passo 8
Associatividade de
:
Vamos verificar se .
Vamos verificar se
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Simplificando:
Como ambos os lados resultam na mesma expressão,
é associativa.
Passo 9
Distributividade de
sobre
: Precisamos verificar se
.
Calculando o lado esquerdo:
Simplificando:
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, a distributividade é satisfeita.
Passo 10
Elemento unidade para
: Precisamos encontrar um elemento
tal que
para todo
.
Usando a definição de
:
Resolvendo para
:
Para que isso seja válido para todo
, o único valor possível é
.
Resposta
Assim, mostramos que
satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com elemento unidade. O elemento unidade é
.