Consideramos as operações * e De em Q definidas por:
x * y=x+y-3 e x De
Mostre que (Q, *, De é um anel comutativo com elemento unidade.
226

Passo 1

Beleza, vamos lidar com esse exercício que pede pra gente mostrar que o conjunto dos números racionais, Q, junto com as operações * e De definidas por * e De, forma um anel comutativo com elemento unidade. Um anel é uma estrutura algébrica que tem duas operações (nesse caso, e ) e precisa seguir algumas regras específicas. Vamos precisar verificar se essas operações satisfazem os axiomas de um anel comutativo e identificar qual é o elemento unidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel comutativo. Um anel comutativo é um conjunto equipado com duas operações (geralmente chamadas de adição e multiplicação) que satisfazem certas propriedades: a adição deve formar um grupo abeliano, a multiplicação deve ser comutativa e associativa, a multiplicação deve distribuir sobre a adição, e deve existir um elemento unidade para a multiplicação.

Passo 3

Vamos começar verificando se (Q, *) forma um grupo abeliano. Para isso, precisamos checar se a operação * é associativa, se existe um elemento neutro e se todo elemento tem um inverso.

Passo 4

Associatividade de *: Precisamos ver se (x * y) * z = (x + y - 3) + z - 3 = x + y + z - 6 para todos x * (y * z) = x + (y + z - 3) - 3 = x + y + z - 6 .
Calculando o lado esquerdo:
*
Calculando o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a operação é associativa.

Passo 5

Elemento neutro de *: Precisamos encontrar um número e tal que * para todo x * e = x + e - 3 = x .
Usando a definição de e:
e - 3 = 0 Rightarrow e = 3
Resolvendo para :
Então, o elemento neutro é 3.

Passo 6

Inverso de *: Para cada *, precisamos de um elemento x + y - 3 = 3 Rightarrow y = 6 - x tal que x (o elemento neutro).
Usando a definição de *:
Portanto, o inverso de em relação a é .

Passo 7

Até agora, mostramos que (Q, *) é um grupo abeliano. Agora, vamos verificar se a operação De é comutativa e associativa, e se distribui sobre *.
Comutatividade de De:
Precisamos ver se x De.
De
Então, é comutativa.

Passo 8

Associatividade de De:
Vamos verificar se (x De.
Calculando o lado esquerdo:
= x + y + z - xy3 - xz3 - yz3 + xyz9
Simplificando:
x De
Calculando o lado direito:
= x + y + z - yz3 - xy3 - xz3 + xyz9
Simplificando:
De
Como ambos os lados resultam na mesma expressão, é associativa.

Passo 9

Distributividade de De sobre *: Precisamos verificar se x De.
Calculando o lado esquerdo:
= 2x + y + z - 3 - xy3 - xz3
Simplificando:
(x De
Calculando o lado direito:
Como ambos os lados são iguais, a distributividade é satisfeita.

Passo 10

Elemento unidade para De: Precisamos encontrar um elemento u tal que De para todo x + u - xu3 = x .
Usando a definição de u:
u - xu3 = 0 Rightarrow u(1 - x3) = 0
Resolvendo para :
Para que isso seja válido para todo , o único valor possível é .

Resposta

Assim, mostramos que (Q, *, De satisfaz todas as propriedades de um anel comutativo com elemento unidade. O elemento unidade é .

Exercícios relacionados