Considerando caminhos diferentes de aproximaçäo, mostre que as funçōes nos Exercicios 41 - 48 não têmm limite quando (x, y) -> (0, 0).
h(x, y) = x^2 * y / (x^4 + y^2)

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Vamos usar diferentes caminhos de aproximação para isso. Vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e como diferentes caminhos podem influenciar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de . Vamos tentar o eixo . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite da função é .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, a linha . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite da função é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos diferentes são diferentes: pelo eixo o limite é e pelo caminho o limite é . Isso significa que a função não tem um único limite em , já que o valor do limite depende do caminho seguido para se aproximar do ponto.

Resposta

Portanto, como os limites obtidos por diferentes caminhos são diferentes, concluímos que a função não possui limite quando .

Exercícios relacionados

. . Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
& r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg t, 2 e^trang<=, t=0 & r(t)=cos t i+3 t j+2 sen 2 t k, t=0 & r(t)=sen^2 t i+cos ^2 t j+tg^2 t k, t=pi / 4
$(b) O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como (b) O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com ace<=ração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme) Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como , a posição inicial como , a velocidade inicial como sendo , a velocidade inicial como sendo e a aceleração como e a ace<=ração como , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é e para a velocidade é e para a velocidade é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade tem velocidade (concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).$
Mostre, diretamente da definição, que a função f(z) = z barra não é derivável em nenhum ponto.
A função f(z) = Im(z) possui derivada em algum ponto? Justifique.