Considerando caminhos diferentes de aproximaçäo, mostre que as funçōes nos Exercicios
não têmm limite quando
.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo que pede para mostrar que a função
não tem limite quando
se aproxima de
. Vamos usar diferentes caminhos de aproximação para isso. Vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e como diferentes caminhos podem influenciar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de
. Vamos tentar o eixo
. Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite da função é
.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, a linha
. Substituindo
na função:
Assim, ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite da função é
.
Passo 4
Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos diferentes são diferentes: pelo eixo
o limite é
e pelo caminho
o limite é
. Isso significa que a função não tem um único limite em
, já que o valor do limite depende do caminho seguido para se aproximar do ponto.
Resposta
Portanto, como os limites obtidos por diferentes caminhos são diferentes, concluímos que a função
não possui limite quando
.
Exercícios relacionados
. . Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
$(b) O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como
, a posição inicial como
, a velocidade inicial como sendo
e a aceleração como
, a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é
e para a velocidade é
. Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento
tem velocidade
(concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).$
Mostre, diretamente da definição, que a função
não é derivável em nenhum ponto.
A função
possui derivada em algum ponto? Justifique.