. . Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
& r(t)=lang<= t e^-t, 2 arctg t, 2 e^trang<=, t=0 & r(t)=cos t i+3 t j+2 sen 2 t k, t=0 & r(t)=sen^2 t i+cos ^2 t j+tg^2 t k, t=pi / 4

Passo 1

Vamos resolver o primeiro exercício. Temos um vetor posição definido por
r(t) = lang<= t e^-t,, 2 arctan t,, 2 e^t rang<=, t = 0
O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T(t) nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de r(t) em relação a t e então normalizar esse vetor derivada.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de r(t) em relação a t:
r'(t) = lang<= ddt(t e^-t),, ddt(2 arctan t),, ddt(2 e^t) rang<=

Passo 3

Calculando cada derivada individualmente:
  • Para a primeira componente:
ddt(t e^-t) = e^-t - t e^-t
  • Para a segunda componente:
ddt(2 arctan t) = 21 + t^2
  • Para a terceira componente:
ddt(2 e^t) = 2 e^t
Então,
r'(t) = lang<= e^-t - t e^-t,, 21 + t^2,, 2 e^t rang<=

Passo 4

Agora, avaliamos r'(t) no ponto t = 0:
r'(0) = lang<= e^0 - 0 cdot e^0,, 21 + 0^2,, 2 e^0 rang<= = lang<= 1,, 2,, 2 rang<=

Passo 5

Para encontrar o vetor tangente unitário T(0), precisamos normalizar r'(0). Primeiro, calculamos a norma de r'(0):
|r'(0)| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3

Passo 6

Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
T(0) = r'(0)|r'(0)| = 13 lang<= 1,, 2,, 2 rang<= = lang<= 13,, 23,, 23 rang<=

Passo 7

Agora, vamos resolver o segundo exercício. Temos um vetor posição definido por
r(t) = cos t, i + 3 t, j + 2 sin 2t, k, t = 0
Queremos encontrar o vetor tangente unitário T(t) nesse ponto. Precisamos calcular a derivada de r(t) em relação a t e depois normalizar esse vetor derivada.

Passo 8

Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de r(t) em relação a t:
r'(t) = lang<= ddt(cos t),, ddt(3 t),, ddt(2 sin 2t) rang<=

Passo 9

Calculando cada derivada individualmente:
  • Para a primeira componente:
ddt(cos t) = -sin t
  • Para a segunda componente:
ddt(3 t) = 3
  • Para a terceira componente:
ddt(2 sin 2t) = 4 cos 2t
Então,
r'(t) = lang<= -sin t,, 3,, 4 cos 2t rang<=

Passo 10

Agora, avaliamos r'(t) no ponto t = 0:
r'(0) = lang<= -sin 0,, 3,, 4 cos 0 rang<= = lang<= 0,, 3,, 4 rang<=

Passo 11

Para encontrar o vetor tangente unitário T(0), precisamos normalizar r'(0). Primeiro, calculamos a norma de r'(0):
|r'(0)| = raiz0^2 + 3^2 + 4^2 = raiz0 + 9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 12

Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
T(0) = r'(0)|r'(0)| = 15 lang<= 0,, 3,, 4 rang<= = lang<= 0, 35, 45 rang<=

Passo 13

Finalmente, vamos resolver o terceiro exercício. Temos um vetor posição definido por
r(t) = sin^2 t, i + cos^2 t, j + tan^2 t, k, t = pi4
O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T(t) nesse ponto. Precisamos calcular a derivada de r(t) em relação a t e então normalizar esse vetor derivada.

Passo 14

Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de r(t) em relação a t:
r'(t) = lang<= ddt(sin^2 t),, ddt(cos^2 t),, ddt(tan^2 t) rang<=

Passo 15

Calculando cada derivada individualmente:
  • Para a primeira componente:
ddt(sin^2 t) = 2 sin t cos t
  • Para a segunda componente:
ddt(cos^2 t) = -2 sin t cos t
  • Para a terceira componente:
ddt(tan^2 t) = 2 tan t sec^2 t
Então,
r'(t) = lang<= 2 sin t cos t,, -2 sin t cos t,, 2 tan t sec^2 t rang<=

Passo 16

Agora, avaliamos r'(t) no ponto t = pi4:
Sabemos que
sin (pi4) = raiz22, cos (pi4) = raiz22, tan (pi4) = 1, sec (pi4) = raiz2
Substituindo:
r'(pi4) = lang<= 2 cdot raiz22 cdot raiz22,, -2 cdot raiz22 cdot raiz22,, 2 cdot 1 cdot (raiz2)^2 rang<= = lang<= 1,, -1,, 4 rang<=

Passo 17

Para encontrar o vetor tangente unitário T(pi4), precisamos normalizar r'(pi4). Primeiro, calculamos a norma de r'(pi4):
|r'(pi4)| = raiz1^2 + (-1)^2 + 4^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 = 3 raiz2

Passo 18

Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
T(pi4) = r'(pi4)|r'(pi4)| = 13 raiz2 lang<= 1,, -1,, 4 rang<= = lang<= 13 raiz2, -13 raiz2, 43 raiz2 rang<=

Resposta

O vetor tangente unitário no ponto t = pi4 é
T(pi4) = lang<= 13 raiz2, -13 raiz2, 43 raiz2 rang<=

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$(b) O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como (b) O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com ace<=ração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme) Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como , a posição inicial como , a velocidade inicial como sendo , a velocidade inicial como sendo e a aceleração como e a ace<=ração como , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é e para a velocidade é e para a velocidade é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade tem velocidade (concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).$
1
. 1-2 Determine o domínio das funções vetoriais.
2. r(t)=lang<=raiz4-t^2, e^-3 t, ln (t+1)rang<=.
3. r(t)=t-2t+2 i+sen t j+ln (9-t^2) k
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