Considerando um campo de escoamento incompressível, dado por V=(x y^2 t) imath+(5 y t^2) j, determine:
Aceleração total de uma partícula (0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a aceleração total de uma partícula localizada no ponto (0,5) em um campo de escoamento incompressível dado pela velocidade V = (x y^2 t) imath + (5 y t^2) j. Isso envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a aceleração material. Para resolver, vamos precisar derivar a velocidade em relação ao tempo e também considerar como a velocidade varia no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a aceleração total de uma partícula em um fluxo é dada pelo derivado material da velocidade, que combina a variação no tempo e no espaço. Matematicamente, é:
a = DVDt = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Aqui, partial Vpartial t é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e (V cdot nabla)V representa como a velocidade muda no espaço.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
partial Vpartial t = partialpartial t ( x y^2 t ) imath + partialpartial t (5 y t^2) j = x y^2 imath + 10 y t j

Passo 4

Agora, precisamos calcular o termo (V cdot nabla)V. Primeiro, vamos identificar as componentes de V:
Vx = x y^2 t e Vy = 5 y t^2
Calculamos as derivadas espaciais necessárias:
partial Vxpartial x = y^2 t, partial Vxpartial y = 2x y t, partial Vypartial x = 0, partial Vypartial y = 5 t^2
Então:
(V cdot nabla) Vx = Vx partial Vxpartial x + Vy partial Vxpartial y = (x y^2 t)(y^2 t) + (5 y t^2)(2x y t) = x y^4 t^2 + 10 x y^2 t^3
(V cdot nabla) Vy = Vx partial Vypartial x + Vy partial Vypartial y = (x y^2 t)(0) + (5 y t^2)(5 t^2) = 25 y t^4

Passo 5

Agora, juntamos os dois termos para obter a aceleração total:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V = (x y^2 + x y^4 t^2 + 10 x y^2 t^3) imath + (10 y t + 25 y t^4) j

Passo 6

Finalmente, substituímos o ponto (0,5) na expressão da aceleração. Como x = 0, todos os termos que multiplicam x vão se tornar zero:
ax = 0 + 0 + 0 = 0
ay = 10 times 5 times t + 25 times 5 times t^4 = 50 t + 125 t^4

Resposta

A aceleração total da partícula no ponto (0,5) é:
a = 0, imath + (50 t + 125 t^4) j , m/s^2

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