Considerando um campo de escoamento incompressível, dado por
, determine:
Aceleração total de uma partícula
Aceleração total de uma partícula
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a aceleração total de uma partícula localizada no ponto (0,5) em um campo de escoamento incompressível dado pela velocidade
. Isso envolve conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente a aceleração material. Para resolver, vamos precisar derivar a velocidade em relação ao tempo e também considerar como a velocidade varia no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a aceleração total de uma partícula em um fluxo é dada pelo derivado material da velocidade, que combina a variação no tempo e no espaço. Matematicamente, é:
Aqui,
é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo, e
representa como a velocidade muda no espaço.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o termo
. Primeiro, vamos identificar as componentes de
:
Calculamos as derivadas espaciais necessárias:
Então:
Passo 5
Agora, juntamos os dois termos para obter a aceleração total:
Passo 6
Finalmente, substituímos o ponto (0,5) na expressão da aceleração. Como
, todos os termos que multiplicam
vão se tornar zero:
Resposta
A aceleração total da partícula no ponto (0,5) é: