Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa
presa a uma mola de constante elástica
. Despreze qualquer tipo de atrito.
a) Apartir da segunda Lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento.
b) Qual é a incógnita da letra (a)? Esta incógnita é um número, função ou outra coisa?
c) Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular
?
i.
;
ii.
.
d) Em uma situação experimental real, o movimento do sistema massa-mola depende das chamdas condições iniciais de movimento: a posição inicial
da qual o objeto é solto e a velocidade inicial
que ele inicia o movimento. Mostre que
e
dependem de
determine qual é essa dependência.
e) Qual significado físico do parâmetro A? Explique.
f) Como é definido o período de oscilação do sistema? Ele depende das condições iniciais de movimento? Ele depende de
? Explique.
a) Apartir da segunda Lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento.
b) Qual é a incógnita da letra (a)? Esta incógnita é um número, função ou outra coisa?
c) Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular
i.
ii.
d) Em uma situação experimental real, o movimento do sistema massa-mola depende das chamdas condições iniciais de movimento: a posição inicial
e) Qual significado físico do parâmetro A? Explique.
f) Como é definido o período de oscilação do sistema? Ele depende das condições iniciais de movimento? Ele depende de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola! A gente vai usar a segunda Lei de Newton pra entender o movimento desse sistema. Precisamos saber como escrever a equação diferencial que descreve esse movimento, entender quais são as incógnitas envolvidas, verificar soluções possíveis, e também ver como as condições iniciais influenciam tudo isso. Vamos por partes!
Passo 2
a) Escrevendo a equação diferencial de movimento usando a segunda Lei de Newton
Primeiro, a segunda Lei de Newton diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No nosso sistema massa-mola, a única força que atua é a força da mola, que segue a Lei de Hooke:
(O sinal negativo indica que a força da mola é contrária ao deslocamento.)
Então, substituindo na segunda Lei de Newton:
Rearranjando os termos, a equação diferencial fica:
Passo 3
b) Identificando a incógnita da equação diferencial
Na equação que montamos:
A incógnita é $ x(t) $, que representa a posição da massa em função do tempo. Ou seja, estamos procurando uma função que descreva como a posição muda ao longo do tempo.
Então, a incógnita é uma função de $ t $.
Passo 4
c) Verificando se as soluções dadas satisfazem a equação diferencial e encontrando $ \omega $
Vamos testar as duas soluções propostas:
i. $ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) $
Primeiro, calculamos as derivadas:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando $ A \cos(\omega t + \varphi) $:
Para que isso seja verdade para todo $ t $, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
ii. $ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) $
Calculando as derivadas:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Substituindo na equação diferencial:
Fatorando $ A \sin(\omega t + \varphi) $:
Para que isso seja verdadeiro para todo $ t $, temos novamente:
Então, para ambas as soluções, a frequência angular $ \omega $ deve ser:
Passo 5
d) Determinando como $ A $ e $ \varphi $ dependem das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $
Vamos considerar as condições iniciais:
- Posição inicial: $ x(0) = x_0 $
- Velocidade inicial: $ v(0) = v_0 $
Usando a solução geral:
Calculando em $ t = 0 $:
Calculando a velocidade:
Em $ t = 0 $:
Para encontrar $ A $ e $ \varphi $, usamos a identidade $ \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1 $:
Simplificando:
Multiplicando por $ A^2 $:
Então, o valor de $ A $ é:
E o ângulo $ \varphi $ pode ser encontrado usando:
Passo 6
e) Significado físico do parâmetro $ A $
O parâmetro $ A $ é a amplitude das oscilações do sistema massa-mola. Fisicamente, isso representa a máxima distância que a massa alcança a partir da posição de equilíbrio durante o movimento. Quanto maior for $ A $, maior será a variação da posição da massa.
Passo 7
f) Definição do período de oscilação e suas dependências
O período de oscilação ($ T $) é o tempo que o sistema leva para completar uma oscilação completa, ou seja, para voltar à posição inicial com a mesma velocidade.
A fórmula para o período é:
Onde $ \omega $ é a frequência angular.
Dependências:
-
Condições iniciais: O período $ T $ não depende das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $. Ele é determinado apenas pelas propriedades do sistema, como a massa $ m $ e a constante elástica $ k $.
-
Frequência angular $ \omega $: Sim, o período $ T $ depende de $ \omega $ inversamente. Se $ \omega $ aumentar, o período diminui, e vice-versa.
Resposta
Finalizamos resolvendo todas as partes do exercício! Vimos como construir a equação diferencial do movimento usando a segunda Lei de Newton, identificamos que a incógnita é a função $ x(t) $, verificamos que as soluções trigonométricas satisfazem a equação quando $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, entendemos como a amplitude $ A $ e o ângulo de fase $ \varphi $ dependem das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $, identificamos o significado físico de $ A $ como amplitude das oscilações, e definimos o período de oscilação $ T $ como $ \frac{2\pi}{\omega} $, mostrando que ele não depende das condições iniciais, mas sim da frequência angular $ \omega $.
Exercícios relacionados
Considerando um campo de escoamento incompressível, dado por
, determine:
Aceleração total de uma partícula
Aceleração total de uma partícula
Considerando um campo de escoamento incompressível, dado por
, determine:
O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional?
O campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional?
Explique os três tipos diferentes de oscilador harmônico amortecido. Faça um gráfico explicando as principais diferenças entre eles, e discuta qual dos casos é mais apropriado para ser usado para o sistema de amortecimento de um carro. Explique seu raciocínio.
Borbulha-se ar em um tanque de hexano
liquido a uma vazão de 0,100
. O gás deixa o tanque contendo
mol de vapor de hexano. O ar pode ser considerado insolúvel no hexano liquido. (i) Represente o fluxograma do processo, (ii) Análise o processo (de acordo com entrada e saída de matéria e regime de operação, justifique), (iii) Apresente a equação que descreve o processo e as condições de contorno, e diga qual é (iv) o tempo que se requer para vaporizar
do líquido? Sabe-se que a densidade do hexano é de
.