Considere um sistema massa mola, onde temos uma massa m presa a uma mola de constante elástica k. Despreze qualquer tipo de atrito.
a) Apartir da segunda Lei de Newton, escreva a equação diferencial de movimento.
b) Qual é a incógnita da letra (a)? Esta incógnita é um número, função ou outra coisa?
c) Mostre por substituição direta, que as soluções abaixo satisfazem a equação diferencial de movimento da letra (a). Para que essas soluções satisfaçam a equação diferencial, qual é o valor da frequência angular omega ?
i. x(t)=A cos (omega t+varphi);
ii. x(t)=A sen(omega t+varphi).
d) Em uma situação experimental real, o movimento do sistema massa-mola depende das chamdas condições iniciais de movimento: a posição inicial x0 da qual o objeto é solto e a velocidade inicial v0 que ele inicia o movimento. Mostre que A e varphi dependem de x0 e v0 e determine qual é essa dependência.
e) Qual significado físico do parâmetro A? Explique.
f) Como é definido o período de oscilação do sistema? Ele depende das condições iniciais de movimento? Ele depende de omega ? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um sistema massa-mola! A gente vai usar a segunda Lei de Newton pra entender o movimento desse sistema. Precisamos saber como escrever a equação diferencial que descreve esse movimento, entender quais são as incógnitas envolvidas, verificar soluções possíveis, e também ver como as condições iniciais influenciam tudo isso. Vamos por partes!

Passo 2

a) Escrevendo a equação diferencial de movimento usando a segunda Lei de Newton
Primeiro, a segunda Lei de Newton diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
F = m cdot a
No nosso sistema massa-mola, a única força que atua é a força da mola, que segue a Lei de Hooke:
F = -k cdot x
(O sinal negativo indica que a força da mola é contrária ao deslocamento.)
Então, substituindo na segunda Lei de Newton:
m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x
Rearranjando os termos, a equação diferencial fica:
d^2xdt^2 + kmx = 0

Passo 3

b) Identificando a incógnita da equação diferencial
Na equação que montamos:
d^2xdt^2 + kmx = 0
A incógnita é $ x(t) $, que representa a posição da massa em função do tempo. Ou seja, estamos procurando uma função que descreva como a posição muda ao longo do tempo.
Então, a incógnita é uma função de $ t $.

Passo 4

c) Verificando se as soluções dadas satisfazem a equação diferencial e encontrando $ \omega $
Vamos testar as duas soluções propostas:
i. $ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) $
Primeiro, calculamos as derivadas:
A primeira derivada:
omega
A segunda derivada:
x(t) = A cos(omega t + varphi)
Substituindo na equação diferencial:
dxdt = -A omega sin(omega t + varphi)
Fatorando $ A \cos(\omega t + \varphi) $:
d^2xdt^2 = -A omega^2 cos(omega t + varphi)
Para que isso seja verdade para todo $ t $, o termo dentro dos parênteses deve ser zero:
- A omega^2 cos(omega t + varphi) + km A cos(omega t + varphi) = 0
ii. $ x(t) = A \sin(\omega t + \varphi) $
Calculando as derivadas:
A primeira derivada:
A cos(omega t + varphi)
A segunda derivada:
A cos(omega t + varphi) ( -omega^2 + km ) = 0
Substituindo na equação diferencial:
t
Fatorando $ A \sin(\omega t + \varphi) $:
-omega^2 + km = 0 Rightarrow omega^2 = km Rightarrow omega = raizkm
Para que isso seja verdadeiro para todo $ t $, temos novamente:
x(t) = A sin(omega t + varphi)
Então, para ambas as soluções, a frequência angular $ \omega $ deve ser:
dxdt = A omega cos(omega t + varphi)

Passo 5

d) Determinando como $ A $ e $ \varphi $ dependem das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $
Vamos considerar as condições iniciais:
  • Posição inicial: $ x(0) = x_0 $
  • Velocidade inicial: $ v(0) = v_0 $
Usando a solução geral:
A
Calculando em $ t = 0 $:
varphi
Calculando a velocidade:
x0
Em $ t = 0 $:
v0
Para encontrar $ A $ e $ \varphi $, usamos a identidade $ \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1 $:
x(0) = x0
Simplificando:
v(0) = v0
Multiplicando por $ A^2 $:
x(t) = A cos(omega t + varphi)
Então, o valor de $ A $ é:
t = 0
E o ângulo $ \varphi $ pode ser encontrado usando:
x(0) = A cos(varphi) = x0 Rightarrow cos(varphi) = x0A

Passo 6

e) Significado físico do parâmetro $ A $
O parâmetro $ A $ é a amplitude das oscilações do sistema massa-mola. Fisicamente, isso representa a máxima distância que a massa alcança a partir da posição de equilíbrio durante o movimento. Quanto maior for $ A $, maior será a variação da posição da massa.

Passo 7

f) Definição do período de oscilação e suas dependências
O período de oscilação ($ T $) é o tempo que o sistema leva para completar uma oscilação completa, ou seja, para voltar à posição inicial com a mesma velocidade.
A fórmula para o período é:
T
Onde $ \omega $ é a frequência angular.
Dependências:
  • Condições iniciais: O período $ T $ não depende das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $. Ele é determinado apenas pelas propriedades do sistema, como a massa $ m $ e a constante elástica $ k $.
  • Frequência angular $ \omega $: Sim, o período $ T $ depende de $ \omega $ inversamente. Se $ \omega $ aumentar, o período diminui, e vice-versa.

Resposta

Finalizamos resolvendo todas as partes do exercício! Vimos como construir a equação diferencial do movimento usando a segunda Lei de Newton, identificamos que a incógnita é a função $ x(t) $, verificamos que as soluções trigonométricas satisfazem a equação quando $ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $, entendemos como a amplitude $ A $ e o ângulo de fase $ \varphi $ dependem das condições iniciais $ x_0 $ e $ v_0 $, identificamos o significado físico de $ A $ como amplitude das oscilações, e definimos o período de oscilação $ T $ como $ \frac{2\pi}{\omega} $, mostrando que ele não depende das condições iniciais, mas sim da frequência angular $ \omega $.

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