Considerando os conjuntos A = { x ∈ Z | x < 4 } , B = { x ∈ Z | − 2 x + 3 < − 3 x + 5 } e C = { x ∈ N | − 2 ≤ x < 3 } , podemos afirmar que: A ⊃ C − 2 ∉ B C ⊂ B − 1 ∈ C B ⊃ A?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe! A gente tem três conjuntos definidos da seguinte forma:
- A = { x ∈ ℤ | x < 4 }
- B = { x ∈ ℤ | −2x + 3 < −3x + 5 }
- C = { x ∈ ℕ | −2 ≤ x < 3 }
E precisamos verificar qual das afirmações seguintes é verdadeira:
- A é superset de C (A ⊃ C)
- −2 não pertence a B (−2 ∉ B)
- C é subset de B − 1 (C ⊂ B − 1)
- −1 pertence a C (−1 ∈ C)
- B é superset de A (B ⊃ A)
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada conjunto:
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A = { x ∈ ℤ | x < 4 }: São todos os números inteiros menores que 4. Então, A = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
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C = { x ∈ ℕ | −2 ≤ x < 3 }: ℕ são os números naturais (0, 1, 2, 3, …). Aqui, x está entre -2 e 3, mas como x é natural, consideramos apenas 0, 1, 2. Então, C = {0, 1, 2}.
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B = { x ∈ ℤ | −2x + 3 < −3x + 5 }: Vamos resolver essa inequação para encontrar os valores de x que pertencem a B.
Passo 3
Resolvendo a inequação para B:
−2x + 3 < −3x + 5
Vamos isolar x:
−2x + 3 < −3x + 5
Adicionamos 3x em ambos os lados:
−2x + 3 + 3x < 5
x + 3 < 5
Subtraímos 3 de ambos os lados:
x < 2
Então, B = { x ∈ ℤ | x < 2 } = {…, -3, -2, -1, 0, 1}
Passo 4
Agora que temos os conjuntos definidos:
- A = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
- B = {…, -3, -2, -1, 0, 1}
- C = {0, 1, 2}
Vamos analisar cada afirmação:
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A ⊃ C: Verifica-se se todo elemento de C está em A.
- C = {0, 1, 2} e A contém 0, 1, 2. Então, A é realmente um superset de C.
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−2 ∉ B: Verifica-se se −2 não está em B.
- B = {…, -3, -2, -1, 0, 1}. Aqui, -2 está em B, então essa afirmação é falsa.
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C ⊂ B − 1: Primeiro, interpretamos B − 1 como {x − 1 | x ∈ B}.
- B − 1 = {…, -4, -3, -2, -1, 0}. C = {0, 1, 2}. Vamos ver se C está contido em B − 1.
- 1 e 2 não estão em B − 1, então C não é subset de B − 1. Essa afirmação é falsa.
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−1 ∈ C: Verifica-se se -1 está em C.
- C = {0, 1, 2}. -1 não está em C. Falso.
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B ⊃ A: Verifica-se se B é superset de A.
- A = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} e B = {…, -3, -2, -1, 0, 1}. A contém elementos que não estão em B (como 2 e 3), então B não é superset de A. Falso.
Resposta
A única afirmação verdadeira é A ⊃ C.