Calcule o valor aproximado de x na equação √ x + √ x − 1 = 3 , utilizando o método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação raizx + raizx - 1 = 3 usando o método de Newton. O conteúdo aqui é de métodos numéricos, especificamente o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Vamos precisar de uma boa chute inicial (nesse caso, 6) e repetir o processo cinco vezes para aproximar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton. Vamos definir uma função f(x) igual a tudo menos 3:
f(x) = raizx + raizx - 1 - 3
Nosso objetivo é encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Para aplicar o método de Newton, precisamos da derivada de f(x). Vamos calcular f'(x):
f'(x) = 12raizx + 12raizx - 1
Isso vai nos ajudar a saber a direção e o tamanho do ajuste para nossa próxima aproximação de x.

Passo 4

Agora, vamos começar as iterações. O método de Newton usa a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Nosso chute inicial é x0 = 6. Vamos calcular as próximas aproximações passo a passo.

Passo 5

Iteração 1:
x0 = 6
Calcular f(x0):
f(6) = raiz6 + raiz5 - 3 approx 2.449 + 2.236 - 3 = 1.685
Calcular f'(x0):
f'(6) = 12raiz6 + 12raiz5 approx 0.204 + 0.224 = 0.428
Atualizar x:
x1 = 6 - 1.6850.428 approx 6 - 3.934 = 2.066

Passo 6

Iteração 2:
x1 approx 2.066
Calcular f(x1):
f(2.066) = raiz2.066 + raiz2.066 - 1 - 3 approx 1.437 + 1.016 - 3 = -0.547
Calcular f'(x1):
f'(2.066) = 12raiz2.066 + 12raiz1.066 approx 0.242 + 0.485 = 0.727
Atualizar x:
x2 = 2.066 - -0.5470.727 approx 2.066 + 0.752 = 2.818

Passo 7

Iteração 3:
x2 approx 2.818
Calcular f(x2):
f(2.818) = raiz2.818 + raiz2.818 - 1 - 3 approx 1.679 + 1.307 - 3 = -0.014
Calcular f'(x2):
f'(2.818) = 12raiz2.818 + 12raiz1.818 approx 0.177 + 0.368 = 0.545
Atualizar x:
x3 = 2.818 - -0.0140.545 approx 2.818 + 0.026 = 2.844

Passo 8

Iteração 4:
x3 approx 2.844
Calcular f(x3):
f(2.844) = raiz2.844 + raiz2.844 - 1 - 3 approx 1.686 + 1.298 - 3 = -0.016
Calcular f'(x3):
f'(2.844) = 12raiz2.844 + 12raiz1.844 approx 0.176 + 0.364 = 0.540
Atualizar x:
x4 = 2.844 - -0.0160.540 approx 2.844 + 0.030 = 2.874

Passo 9

Iteração 5:
x4 approx 2.874
Calcular f(x4):
f(2.874) = raiz2.874 + raiz2.874 - 1 - 3 approx 1.695 + 1.369 - 3 = 0.064
Calcular f'(x4):
f'(2.874) = 12raiz2.874 + 12raiz1.874 approx 0.174 + 0.365 = 0.539
Atualizar x:
x5 = 2.874 - 0.0640.539 approx 2.874 - 0.119 = 2.755

Resposta

Após 5 iterações, o valor aproximado de x é 2.755.

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