Calcule o valor aproximado de x na equação √ x + √ x − 1 = 3 , utilizando o método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
usando o método de Newton. O conteúdo aqui é de métodos numéricos, especificamente o método de Newton-Raphson para encontrar raízes de funções. Vamos precisar de uma boa chute inicial (nesse caso, 6) e repetir o processo cinco vezes para aproximar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa reescrever a equação de forma que possamos aplicar o método de Newton. Vamos definir uma função
igual a tudo menos 3:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Para aplicar o método de Newton, precisamos da derivada de
. Vamos calcular
:
Isso vai nos ajudar a saber a direção e o tamanho do ajuste para nossa próxima aproximação de
.
Passo 4
Agora, vamos começar as iterações. O método de Newton usa a fórmula:
Nosso chute inicial é
. Vamos calcular as próximas aproximações passo a passo.
Passo 5
Iteração 1:
Calcular
:
Calcular
:
Atualizar
:
Passo 6
Iteração 2:
Calcular
:
Calcular
:
Atualizar
:
Passo 7
Iteração 3:
Calcular
:
Calcular
:
Atualizar
:
Passo 8
Iteração 4:
Calcular
:
Calcular
:
Atualizar
:
Passo 9
Iteração 5:
Calcular
:
Calcular
:
Atualizar
:
Resposta
Após 5 iterações, o valor aproximado de
é 2.755.