Encontre a medida dos semieixos menor e da medida aproximada da distância focal da hipérbole x 2 - 2 y 2 - 8 = 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole: $ x^2 - 2y^2 - 8 = 0 $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da hipérbole e depois identificar os semieixos e a distância focal.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar os termos de $ x $ e $ y $. Adicionando 8 aos dois lados da equação:
Passo 3
Agora, queremos que a equação fique igual a 1, então vamos dividir todos os termos por 8:
Simplificando a fração de $ y^2 $:
Passo 4
Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole:
Comparando, vemos que:
- $ a^2 = 8 $ então $ a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
- $ b^2 = 4 $ então $ b = \sqrt{4} = 2 $
Aqui, $ a $ é o semieixo maior e $ b $ é o semieixo menor da hipérbole.
Passo 5
Para encontrar a distância focal ($ c $), usamos a fórmula para hipérboles:
Substituindo os valores que encontramos:
Se quisermos uma medida aproximada:
Resposta
O semieixo menor mede $ 2 $ unidades e a distância focal é aproximadamente $ 3,464 $ unidades.