Encontre a medida dos semieixos menor e da medida aproximada da distância focal da hipérbole x 2 - 2 y 2 - 8 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole: $ x^2 - 2y^2 - 8 = 0 $. A matéria que estamos trabalhando aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre hipérboles. Para resolver, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da hipérbole e depois identificar os semieixos e a distância focal.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar os termos de $ x $ e $ y $. Adicionando 8 aos dois lados da equação:
x

Passo 3

Agora, queremos que a equação fique igual a 1, então vamos dividir todos os termos por 8:
x^28 - 2y^28 = 1
Simplificando a fração de $ y^2 $:
y^2

Passo 4

Agora, a equação está na forma padrão da hipérbole:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando, vemos que:
  • $ a^2 = 8 $ então $ a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
  • $ b^2 = 4 $ então $ b = \sqrt{4} = 2 $
Aqui, $ a $ é o semieixo maior e $ b $ é o semieixo menor da hipérbole.

Passo 5

Para encontrar a distância focal ($ c $), usamos a fórmula para hipérboles:
c
Substituindo os valores que encontramos:
c = raiza^2 + b^2
Se quisermos uma medida aproximada:
c = raiz8 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Resposta

O semieixo menor mede $ 2 $ unidades e a distância focal é aproximadamente $ 3,464 $ unidades.

Exercícios relacionados