Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B { V=( 1, 2) , u= (x, y) } ortogonal do espaço vetorial V= R² em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:
A) u= (-2 , 1)
B) u=( 0, 0)
C) u=( 3, 2)
D) u=( 1, -2)
E) u= (-2, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre base ortogonal no espaço vetorial R^2 usando o produto interno usual. Temos uma base B = v = (1, 2), u = (x, y) que é ortogonal. Nosso objetivo é descobrir quais são as coordenadas do vetor u entre as opções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Em termos simples, isso quer dizer que os vetores da base são perpendiculares entre si. Matematicamente, isso é expresso pelo produto interno dos vetores sendo zero. No nosso caso:
v cdot u = 0

Passo 3

Vamos calcular o produto interno dos vetores v = (1, 2) e u = (x, y):
v cdot u = (1)(x) + (2)(y) = x + 2y
Como a base é ortogonal, esse produto deve ser zero:
x + 2y = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre x e y:
x = -2y
Isso significa que o valor de x é o dobro negativo de y. Agora, vamos analisar as alternativas para ver qual delas satisfaz essa condição.

Passo 5

Vamos verificar cada opção:
  • A) u = (-2, 1)
    Aqui, x = -2 e y = 1. Verificando a condição:
    -2 = -2 times 1 Rightarrow -2 = -2 (Verdadeiro)
  • B) u = (0, 0)
    Esse é o vetor nulo. Mas uma base não pode conter o vetor nulo, pois ele não é linearmente independente.
  • C) u = (3, 2)
    Aqui, x = 3 e y = 2. Verificando:
    3 = -2 times 2 Rightarrow 3 = -4 (Falso)
  • D) u = (1, -2)
    Aqui, x = 1 e y = -2. Verificando:
    1 = -2 times (-2) Rightarrow 1 = 4 (Falso)
  • E) u = (-2, 2)
    Aqui, x = -2 e y = 2. Verificando:
    -2 = -2 times 2 Rightarrow -2 = -4 (Falso)

Resposta

A alternativa que satisfaz a condição da base ortogonal é:
A) u = (-2, 1)

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