Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base ortogonal e a base B { V=( 1, 2) , u= (x, y) } ortogonal do espaço vetorial V= R² em relação ao produto interno usual, assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u:
A) u= (-2 , 1)
B) u=( 0, 0)
C) u=( 3, 2)
D) u=( 1, -2)
E) u= (-2, 2)
A) u= (-2 , 1)
B) u=( 0, 0)
C) u=( 3, 2)
D) u=( 1, -2)
E) u= (-2, 2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre base ortogonal no espaço vetorial
usando o produto interno usual. Temos uma base
que é ortogonal. Nosso objetivo é descobrir quais são as coordenadas do vetor
entre as opções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ser ortogonal. Em termos simples, isso quer dizer que os vetores da base são perpendiculares entre si. Matematicamente, isso é expresso pelo produto interno dos vetores sendo zero. No nosso caso:
Passo 3
Vamos calcular o produto interno dos vetores
e
:
Como a base é ortogonal, esse produto deve ser zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Isso significa que o valor de
é o dobro negativo de
. Agora, vamos analisar as alternativas para ver qual delas satisfaz essa condição.
Passo 5
Vamos verificar cada opção:
-
A)Aqui,
e . Verificando a condição: -
B)Esse é o vetor nulo. Mas uma base não pode conter o vetor nulo, pois ele não é linearmente independente.
-
C)Aqui,
e . Verificando: -
D)Aqui,
e . Verificando: -
E)Aqui,
e . Verificando:
Resposta
A alternativa que satisfaz a condição da base ortogonal é:
A)