Seja a equação diferencial de quarta ordem homogênea com coeficientes constantes e linear. Podemos usar a equação característica para encontrar as respectivas soluções que, combinadas, formarão a solução geral. Assim, seja a EDO linear de quarta ordem dada por u⁴ - u³ - 3u’’ + 5u’ - 2u = 0. Encontre a solução geral para essa equação e assinale a alternativa que a representa.
Passo 1
Vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de quarta ordem, que é uma equação que envolve derivadas até a quarta ordem. Ela é homogênea e tem coeficientes constantes, ou seja, os números que acompanham as derivadas são sempre os mesmos. Para resolver esse tipo de equação, a gente usa a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções que, juntas, formam a solução geral da equação. A equação que vamos resolver é:
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para isso, substituímos cada derivada de $ u $ por uma potência de $ r $. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica. Essas raízes podem ser reais ou complexas e podem se repetir. Vamos tentar fatorar o polinômio:
Procuramos valores de $ r $ que satisfaçam a equação. Testando possíveis valores, encontramos que $ r = 1 $ é uma raiz, porque substituindo na equação:
Então, $ (r - 1) $ é um fator. Fazendo a divisão do polinômio por $ (r - 1) $, obtemos:
Agora, resolvemos a equação $ r^3 - 3r + 2 = 0 $. Testando novamente, vemos que $ r = 1 $ também é raiz desse polinômio:
Então, temos:
Fatorando $ r^2 + r - 2 $:
Portanto, todas as raízes são $ r = 1 $ (repetida três vezes) e $ r = -2 $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz $ r $ corresponde a uma solução da forma $ e^{rt} $. Se uma raiz se repete, multiplicamos por $ t $ para obter soluções adicionais. Aqui, temos:
- $ r = 1 $ com multiplicidade 3:
- $ e^{t} $
- $ t e^{t} $
- $ t^2 e^{t} $
- $ r = -2 $:
- $ e^{-2t} $
Então, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: