Considerando a cúpula como um capacitor esférico, onde o condutor externo é uma esfera de raio infinito, use a lei de Gauss para determinar a capacitância desse capacitor.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre um capacitor esférico. Imagina uma cúpula como sendo uma esfera condutora e o outro condutor é uma esfera de raio infinito, ou seja, super longe. A pergunta quer saber qual é a capacitância desse capacitor usando a lei de Gauss. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a definição de capacitância, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância © de um capacitor é a quantidade de carga (Q) que ele pode armazenar por unidade de diferença de potencial (V) entre os condutores. A fórmula é:
Passo 3
Agora, vamos usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico criado por uma carga
distribuída na esfera condutora. A lei de Gauss nos diz que:
Como temos simetria esférica, o campo elétrico
é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície esférica.
Passo 4
Calculando a integral de superfície, temos:
Então, o campo elétrico fora da esfera ��:
Passo 5
Para encontrar a diferença de potencial
entre a esfera de raio
e o infinito, integramos o campo elétrico:
Passo 6
Integrando, obtemos:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula da capacitância:
Resposta
A capacitância desse capacitor esférico é: