Considerando a cúpula como um capacitor esférico, onde o condutor externo é uma esfera de raio infinito, use a lei de Gauss para determinar a capacitância desse capacitor.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre um capacitor esférico. Imagina uma cúpula como sendo uma esfera condutora e o outro condutor é uma esfera de raio infinito, ou seja, super longe. A pergunta quer saber qual é a capacitância desse capacitor usando a lei de Gauss. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a definição de capacitância, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância © de um capacitor é a quantidade de carga (Q) que ele pode armazenar por unidade de diferença de potencial (V) entre os condutores. A fórmula é:
C = QV

Passo 3

Agora, vamos usar a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico criado por uma carga oint E cdot dA = Qvarepsilon0 distribuída na esfera condutora. A lei de Gauss nos diz que:
Como temos simetria esférica, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em toda a superfície esférica.

Passo 4

Calculando a integral de superfície, temos:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Então, o campo elétrico fora da esfera ��:
E = Q4pi varepsilon0 r^2

Passo 5

Para encontrar a diferença de potencial V = -integralR^infty E , dr = -integralR^infty Q4pi varepsilon0 r^2 , dr entre a esfera de raio e o infinito, integramos o campo elétrico:

Passo 6

Integrando, obtemos:
V = -[ -Q4pi varepsilon0 r ]R^infty = Q4pi varepsilon0 R

Passo 7

Agora, substituímos C = QV = QQ4pi varepsilon0 R = 4pi varepsilon0 R na fórmula da capacitância:

Resposta

A capacitância desse capacitor esférico é:
C = 4pi varepsilon0 R

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