Considerando a função abaixo com o deslocamento ao longo do eixo x
(a) encontre a velocidade em termos de t em qualquer momento; (b) encontre a aceleração em termos de em qualquer momento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função que descreve o deslocamento ao longo do eixo x, que é dada por . A matéria envolvida aqui é a cinemática, que estuda o movimento dos corpos sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver essa questão, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos permite encontrar a velocidade e a aceleração a partir da função de deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade . Na cinemática, a velocidade é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo, ou seja, é a primeira derivada da função de posição em relação a . Matemáticamente, isso é representado como:
Vamos calcular essa derivada:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de (constante) em relação a é 0.
Então, a velocidade fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração . A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a segunda derivada da função de posição , ou a primeira derivada da função de velocidade . Matematicamente:
Usando a expressão que encontramos para :
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de é 0.
Então, a aceleração fica:

Resposta

(a) A velocidade em qualquer momento é .
(b) A aceleração em qualquer momento é .

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