Uma pequena esfera de massa m está presa à ponta de uma corda de comprimento R e posta em movimento em um círculo vertical ao redor de um ponto fixo O. Determine a aceleração tangencial da esfera e a tensão na corda a qualquer instante quando a velocidade da esfera é v e a corda faz um ângulo com a vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma pequena esfera de massa presa a uma corda de comprimento , movendo-se em um círculo vertical. A gente precisa descobrir duas coisas: a aceleração tangencial da esfera ( ) e a tensão na corda ( ) em qualquer instante, quando a velocidade da esfera é e a corda forma um ângulo com a vertical. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica circular e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a aceleração tangencial ( ). Em um movimento circular, a aceleração total possui duas componentes: a aceleração centrípeta ( ) que puxa para o centro do círculo, e a aceleração tangencial ( ) que está na direção do movimento, indicando se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
A aceleração centrípeta é dada por:
Isso porque ela depende da velocidade ( ) e do raio do círculo ( ).

Passo 3

Agora, para achar a aceleração tangencial ( ), precisamos considerar a variação da velocidade. Se a velocidade está mudando, então há uma aceleração tangencial. A relação entre a aceleração total ( ), a centrípeta e a tangencial é dada por:
Mas, no caso do exercício, não foi dada diretamente a variação da velocidade, então vamos considerar que a única aceleração sendo pedida é a relacionada à mudança da velocidade, ou seja, .
Sem mais informações sobre como varia com o tempo, podemos assumir que é a componente da aceleração total na direção do movimento. Porém, se não houver variação na velocidade, seria zero. Como o problema pede para determinar , vamos supor que há uma variação e precisaríamos de mais dados para calcular numericamente. Então, neste contexto, a aceleração tangencial dependeria da taxa de variação de .

Passo 4

Agora, vamos para a tensão na corda ( ). A corda está sujeita a duas forças principais: a componente da tensão que fornece a aceleração centrípeta e a força da gravidade que puxa a esfera para baixo. Vamos decompor a tensão na corda nas direções radial e vertical.
A componente radial da tensão é responsável por fornecer a aceleração centrípeta:
E a componente vertical equilibra a força da gravidade:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Para encontrar a tensão , vamos usar a relação das componentes que acabamos de estabelecer. Podemos dividir as duas equações para eliminar :
Simplificando:
Mas para encontrar , vamos usar a primeira equação:
Ou seja:

Resposta

A aceleração tangencial da esfera é (dependendo da variação de ) e a tensão na corda é:

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