Desenvolva a expressão de um controlador PID no domínio da frequência com baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência, evidencie as expressões que definem a posição de cada singularidade do controlador. Justifique detalhadamente.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para desenvolvermos a expressão de um controlador PID no domínio da frequência, de forma que ele tenha baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência. Além disso, precisamos identificar onde estão as singularidades desse controlador. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um controlador PID, como ele se expressa no domínio da frequência e como ajustar sua estrutura para reduzir a influência de ruídos em alta frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um controlador PID. PID significa Proporcional, Integral e Derivativo. No domínio da frequência, a função de transferência de um controlador PID é dada por:
C(s) = Kp + Kis + Kd s
onde:
  • é o ganho proporcional,
  • é o ganho integral,
  • é o ganho derivativo,
  • é a variável de Laplace.

Passo 3

Agora, para reduzir a sensibilidade a ruídos de alta frequência, precisamos modificar o termo derivativo. O termo derivativo puro ( C(s) = Kp + Kis + Kd s1 + sN ) pode amplificar muito os ruídos em altas frequências. Para mitigar isso, adicionamos um filtro de derivada, geralmente um filtro de primeira ordem, que limita o ganho a altas frequências. A expressão modificada fica:
onde é a constante que define a frequência de corte do filtro. Esse filtro faz com que, para muito grande (alta frequência), o termo derivativo não amplifique tanto o ruído.

Passo 4

Agora, vamos identificar as singularidades desse controlador, ou seja, onde a função C(s) = Kp + Kis + Kd s1 + sN = Kp + Kis + Kd N ss + N pode ter pólos ou zeros.
Primeiro, reescrevemos a função de transferência:
C(s) = Kp (s)(s + N) + Ki (s + N) + Kd N s^2s(s + N)
Podemos combinar os termos sobre um denominador comum:
C(s) = Kd N s^2 + Kp s(s + N) + Ki (s + N)s(s + N)
Simplificando o numerador:
As singularidades estão nos valores de que anulam o denominador, ou seja, nos pólos:
  1. (devido ao termo )
  2. (devido ao filtro no termo derivativo)
Os zeros do controlador são os valores de que anulam o numerador. Para encontrá-los, resolveríamos a equação do numerador igual a zero, o que dependeria dos valores específicos de , , e .

Passo 5

Em resumo, ao adicionar um filtro ao termo derivativo do controlador PID, conseguimos limitar a amplificação de ruídos de alta frequência, melhorando a robustez do controlador. As singularidades do controlador estão nos pólos e , que influenciam a resposta em frequência do sistema.

Resposta

A expressão desenvolvida do controlador PID com baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência é:
C(s) = Kp + Kis + Kd s1 + sN
As singularidades do controlador estão nos pólos e .

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