Desenvolva a expressão de um controlador PID no domínio da frequência com baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência, evidencie as expressões que definem a posição de cada singularidade do controlador. Justifique detalhadamente.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para desenvolvermos a expressão de um controlador PID no domínio da frequência, de forma que ele tenha baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência. Além disso, precisamos identificar onde estão as singularidades desse controlador. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um controlador PID, como ele se expressa no domínio da frequência e como ajustar sua estrutura para reduzir a influência de ruídos em alta frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um controlador PID. PID significa Proporcional, Integral e Derivativo. No domínio da frequência, a função de transferência de um controlador PID é dada por:
onde:
-
é o ganho proporcional, -
é o ganho integral, -
é o ganho derivativo, -
é a variável de Laplace.
Passo 3
Agora, para reduzir a sensibilidade a ruídos de alta frequência, precisamos modificar o termo derivativo. O termo derivativo puro (
) pode amplificar muito os ruídos em altas frequências. Para mitigar isso, adicionamos um filtro de derivada, geralmente um filtro de primeira ordem, que limita o ganho a altas frequências. A expressão modificada fica:
onde
é a constante que define a frequência de corte do filtro. Esse filtro faz com que, para
muito grande (alta frequência), o termo derivativo não amplifique tanto o ruído.
Passo 4
Agora, vamos identificar as singularidades desse controlador, ou seja, onde a função
pode ter pólos ou zeros.
Primeiro, reescrevemos a função de transferência:
Podemos combinar os termos sobre um denominador comum:
Simplificando o numerador:
As singularidades estão nos valores de
que anulam o denominador, ou seja, nos pólos:
-
(devido ao termo ) -
(devido ao filtro no termo derivativo)
Os zeros do controlador são os valores de
que anulam o numerador. Para encontrá-los, resolveríamos a equação do numerador igual a zero, o que dependeria dos valores específicos de
,
,
e
.
Passo 5
Em resumo, ao adicionar um filtro ao termo derivativo do controlador PID, conseguimos limitar a amplificação de ruídos de alta frequência, melhorando a robustez do controlador. As singularidades do controlador estão nos pólos
e
, que influenciam a resposta em frequência do sistema.
Resposta
A expressão desenvolvida do controlador PID com baixa sensibilidade a ruídos de alta frequência é:
As singularidades do controlador estão nos pólos
e
.