Considerando que haja uma linha de cargas com rhoL=12 nC / m e duas superficies cilíndricas r=a e r=b, b>a, respectivamente com rhoSa=-5 nC / m^2 e rhoSb=3 mC / m^2, todas centradas no eixo z, calcule através da Lei de Gauss para:
a. 0;
b. a;
c. r>b;
d. Refaça os cálculos retirando a linha de cargas;
e. Qual o valor de uma linha de cargas que colocada no eixo zfaz =0 para r > b?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma linha de carga com densidade linear de carga rhoL = 12 , nC/m e duas superfícies cilíndricas concêntricas ao eixo z: uma com raio r = a e outra com raio r = b (onde b > a). Essas superfícies têm densidades de carga superficial de rhoSa = -5 , nC/m^2 e rhoSb = 3 , mC/m^2, respectivamente. Vamos usar a Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico Phi em diferentes regiões definidas por esses raios.

Passo 2

a. Para 0 < r < a:
Primeiro, vamos entender o que significa essa região. Estamos falando de um ponto que está entre o eixo da linha de carga e a primeira superfície cilíndrica.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico Phi através de uma superfície fechada é igual à carga total Qenc dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0:
Phi = Qencvarepsilon0
Aqui, a superfície gaussiana será um cilindro de raio r e comprimento L.
Cálculo da Carga Envolvida Qenc:
Dentro de 0 < r < a, a única carga presente é a linha de carga no centro. A carga por unidade de comprimento é rhoL = 12 , nC/m, então a carga total dentro do cilindro é:
Qenc = rhoL times L = 12 times 10^-9 , C/m times L
Fluxo Elétrico:
Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica:
Phi = E times 2pi r L
Igualando as duas expressões:
E times 2pi r L = 12 times 10^-9 times Lvarepsilon0
Cancelando L de ambos os lados:
E = 12 times 10^-92pi varepsilon0 r

Passo 3

b. Para a < r < b:
Agora, nosso ponto está entre as duas superfícies cilíndricas.
Teoria Aplicada: Vamos novamente usar a Lei de Gauss. Porém, agora precisamos considerar tanto a linha de carga quanto a carga na primeira superfície cilíndrica.
Cálculo da Carga Envolvida Qenc:
Além da linha de carga, há a carga na superfície r = a:
Qenc = rhoL times L + rhoSa times 2pi a L
Substituindo os valores:
Qenc = 12 times 10^-9 times L + (-5 times 10^-9) times 2pi a L
Simplificando:
Qenc = (12 times 10^-9 - 10pi times 10^-9 a ) L
Fluxo Elétrico:
Temos:
Phi = E times 2pi r L = Qencvarepsilon0
Substituindo Qenc:
E times 2pi r L = 12 times 10^-9 L - 10pi times 10^-9 a Lvarepsilon0
Cancelando L:
E = 12 times 10^-9 - 10pi times 10^-9 a2pi varepsilon0 r

Passo 4

c. Para r > b:
Agora, estamos fora das duas superfícies cilíndricas.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss ainda se aplica, e agora todas as cargas dentro das superfícies r = a e r = b devem ser consideradas.
Cálculo da Carga Envolvida Qenc:
Consideramos a linha de carga e as cargas nas duas superfícies:
Qenc = rhoL times L + rhoSa times 2pi a L + rhoSb times 2pi b L
Substituindo os valores:
Qenc = 12 times 10^-9 L + (-5 times 10^-9) times 2pi a L + 3 times 10^-3 times 2pi b L
Simplificando:
Qenc = (12 times 10^-9 -10pi times 10^-9 a +6pi times 10^-3 b ) L
Fluxo Elétrico:
Aplicando a Lei de Gauss:
E times 2pi r L = Qencvarepsilon0
Portanto:
E = 12 times 10^-9 -10pi times 10^-9 a +6pi times 10^-3 b2pi varepsilon0 r

Passo 5

d. Recalculando sem a linha de carga:
Agora vamos retirar a linha de carga e refazer os cálculos.
Teoria Aplicada: Sem a linha de carga, a única contribuição às cargas são as das superfícies cilíndricas.
a. Para 0 < r < a:
Sem a linha de carga, dentro de r = a não há carga envolvida:
Phi = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0
b. Para a < r < b:
Aqui, a carga envolvida é apenas a da superfície r = a:
Qenc = rhoSa times 2pi a L = -5 times 10^-9 times 2pi a L
Fluxo elétrico:
E times 2pi r L = -10pi times 10^-9 a Lvarepsilon0
Cancelando L:
E = -10pi times 10^-9 a2pi varepsilon0 r = -5 times 10^-9 avarepsilon0 r
c. Para r > b:
Aqui, as cargas envolvidas são as das duas superfícies:
Qenc = rhoSa times 2pi a L + rhoSb times 2pi b L = -5 times 10^-9 times 2pi a L + 3 times 10^-3 times 2pi b L
Simplificando:
Qenc = (-10pi times 10^-9 a +6pi times 10^-3 b ) L
Fluxo elétrico:
E times 2pi r L = -10pi times 10^-9 a +6pi times 10^-3 b varepsilon0
Portanto:
E = -10pi times 10^-9 a +6pi times 10^-3 b 2pi varepsilon0 r = -5 times 10^-9 a +3 times 10^-3 b varepsilon0 r

Passo 6

e. Valor da linha de carga que faz Phi = 0 para r > b:
Queremos encontrar a densidade linear de carga rhoL tal que o fluxo elétrico para r > b seja zero.
Teoria Aplicada: Para que Phi = 0, a carga total envolvida deve ser zero:
Qenc = rhoL times L + rhoSa times 2pi a L + rhoSb times 2pi b L = 0
Resolvendo para rhoL:
rhoL times L = - (rhoSa times 2pi a L + rhoSb times 2pi b L )
Dividindo ambos os lados por L:
rhoL = - ( rhoSa times 2pi a + rhoSb times 2pi b )
Substituindo os valores:
rhoL = - ( -5 times 10^-9 times 2pi a + 3 times 10^-3 times 2pi b ) = 10pi times 10^-9 a -6pi times 10^-3 b

Resposta

A densidade linear de carga necessária para que o fluxo elétrico seja zero para r > b é:
rhoL = 10pi times 10^-9 , a - 6pi times 10^-3 , b C/m

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