Considerando que haja uma linha de cargas com
e duas superficies cilíndricas
e
, respectivamente com
e
, todas centradas no eixo z, calcule através da Lei de Gauss para:
a.
;
b.
;
c.
;
d. Refaça os cálculos retirando a linha de cargas;
e. Qual o valor de uma linha de cargas que colocada no eixo zfaz
para r > b?
a.
b.
c.
d. Refaça os cálculos retirando a linha de cargas;
e. Qual o valor de uma linha de cargas que colocada no eixo zfaz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma linha de carga com densidade linear de carga
e duas superfícies cilíndricas concêntricas ao eixo z: uma com raio
e outra com raio
(onde
). Essas superfícies têm densidades de carga superficial de
e
, respectivamente. Vamos usar a Lei de Gauss para calcular o fluxo elétrico
em diferentes regiões definidas por esses raios.
Passo 2
a. Para
:
Primeiro, vamos entender o que significa essa região. Estamos falando de um ponto que está entre o eixo da linha de carga e a primeira superfície cilíndrica.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
:
Aqui, a superfície gaussiana será um cilindro de raio
e comprimento
.
Cálculo da Carga Envolvida
:
Dentro de
, a única carga presente é a linha de carga no centro. A carga por unidade de comprimento é
, então a carga total dentro do cilindro é:
Fluxo Elétrico:
Como o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana, o fluxo elétrico fica:
Igualando as duas expressões:
Cancelando
de ambos os lados:
Passo 3
b. Para
:
Agora, nosso ponto está entre as duas superfícies cilíndricas.
Teoria Aplicada: Vamos novamente usar a Lei de Gauss. Porém, agora precisamos considerar tanto a linha de carga quanto a carga na primeira superfície cilíndrica.
Cálculo da Carga Envolvida
:
Além da linha de carga, há a carga na superfície
:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Fluxo Elétrico:
Temos:
Substituindo
:
Cancelando
:
Passo 4
c. Para
:
Agora, estamos fora das duas superfícies cilíndricas.
Teoria Aplicada: A Lei de Gauss ainda se aplica, e agora todas as cargas dentro das superfícies
e
devem ser consideradas.
Cálculo da Carga Envolvida
:
Consideramos a linha de carga e as cargas nas duas superfícies:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Fluxo Elétrico:
Aplicando a Lei de Gauss:
Portanto:
Passo 5
d. Recalculando sem a linha de carga:
Agora vamos retirar a linha de carga e refazer os cálculos.
Teoria Aplicada: Sem a linha de carga, a única contribuição às cargas são as das superfícies cilíndricas.
a. Para
:
Sem a linha de carga, dentro de
não há carga envolvida:
b. Para
:
Aqui, a carga envolvida é apenas a da superfície
:
Fluxo elétrico:
Cancelando
:
c. Para
:
Aqui, as cargas envolvidas são as das duas superfícies:
Simplificando:
Fluxo elétrico:
Portanto:
Passo 6
e. Valor da linha de carga que faz
para
:
Queremos encontrar a densidade linear de carga
tal que o fluxo elétrico para
seja zero.
Teoria Aplicada: Para que
, a carga total envolvida deve ser zero:
Resolvendo para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Substituindo os valores:
Resposta
A densidade linear de carga necessária para que o fluxo elétrico seja zero para
é: