Considere um elétron de carga e se movendo em uma órbita de raio a em torno de um núcleo positivamente carregado.
a. Selecionando uma corrente e uma área apropriada, mostre que o momento de dipolo orbital equivalente é
, em que
é a velocidade angular do elétron;
b. Mostre que o torque produzido por uma densidade de fluxo magnético paralelo ao plano da órbita é ea
;
a. Selecionando uma corrente e uma área apropriada, mostre que o momento de dipolo orbital equivalente é
b. Mostre que o torque produzido por uma densidade de fluxo magnético paralelo ao plano da órbita é ea
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um elétron com carga negativa se movendo em uma órbita ao redor de um núcleo com carga positiva. A gente vai trabalhar com conceitos de corrente elétrica, momento de dipolo orbital e torque em campos magnéticos. Para resolver, vamos precisar entender como um elétron em movimento gera uma corrente elétrica e como isso se relaciona com o momento de dipolo. Também vamos precisar aplicar a fórmula do torque em um campo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos abordar a parte (a). Queremos mostrar que o momento de dipolo orbital equivalente é $ \frac{e a^{2} \omega}{2} $, onde $ e $ é a carga do elétron, $ a $ é o raio da órbita e $ \omega $ é a velocidade angular do elétron.
Passo 3
Para isso, vamos pensar no elétron se movendo em círculo como uma corrente elétrica. A corrente elétrica $ I $ pode ser definida como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo. Se o elétron dá uma volta completa na órbita, o tempo que ele leva para fazer isso é o período $ T $, que está relacionado com a velocidade angular $ \omega $ por $ T = \frac{2\pi}{\omega} $.
Passo 4
A carga que passa em um período é $ e $ (a carga do elétron). Então, a corrente $ I $ é dada por:
Passo 5
Agora, o momento de dipolo magnético $ \mu $ para uma corrente que circula em uma área $ A $ é dado por:
Nesse caso, a área $ A $ da órbita é a área do círculo:
Passo 6
Substituindo a corrente $ I $ e a área $ A $ na fórmula do momento de dipolo:
Resposta
a. O momento de dipolo orbital equivalente é $ \frac{e a^{2} \omega}{2} $.
b. O torque produzido por uma densidade de fluxo magnético paralelo ao plano da órbita é $ \frac{e a^{2} \omega B}{2} $.